Приключения инженераРоман
Шрифт:
Изложенное не свидетельствует о том, что математическое моделирование физических, экономических или иных процессов не нужно или что не нужно использовать компьютерные технологии. Но в каждом конкретном случае нужно обращать внимание на то, все ли факторы, влияющие на результаты, учтены, и нет ли предвзятости в толковании результатов.
3. Арифметика и жизнь
Арифметикой мы занимаемся практически ежедневно. В магазине надо соображать, хватит ли денег, а это расчеты. В метро и троллейбусе надо брать билеты, а это тоже расчеты. Что и говорить, без знания арифметики в современном мире не проживешь. И мы привыкли к арифметике и думаем, что в самой арифметике все в порядке,
— Сколько будет четыре разделить на два? — спросила учительница. — Скажи ты, Вася.
— А что будем делить? — деловито спросил Вася.
— Не все ли равно? — удивилась учительница. — Ну, яблоки, например.
— А с кем делить? — поинтересовался Вася.
— Какая тебе разница? — еще больше удивилась учительница. — Ну, с Петей.
— С Петькой? — переспросил Вася. — Если с Петькой, то три мне, а одно ему.
— Почему?! — возмутилась учительница.
— А он мне одно яблоко должен, — объяснил Вася. — Пусть отдает!
— Ну, ладно, — сдалась учительница. — Давай делить сливы.
— Если сливы, то все четыре ему, — доложил Вася. — Я слив не ем, они кислые.
— О, Господи! — простонала учительница, но ничего возразить уже не смогла.
А ведь Вася прав. Кто решил, что делить надо на равные части? Всегда ли это возможно?
Арифметика, которой все мы пользуемся, незримо предполагает несколько исходных условий.
Первым таким условием является одинаковость всех элементов, помещенных в общую цифру. Как-то, будучи в одной семье, мы с девочкой пяти лет насчитали 20 предметов — 19 конфеток и одного котенка. Однако при этом мы не предполагали, что все они будут съедены. Но если бы была поставлена именно эта цель — съесть предметы, то в случае котенка возникли бы некоторые затруднения. Съедобных предметов оказалось бы меньше. Следовательно, в арифметической логике не хватает существенного момента — цели использования результата.
Вторым условием является одинаковый подход ко всем элементам, подвергающимся общему арифметическому действию. Вы делите или умножаете предметы, предполагая, что ваш делитель или множитель одинаково воздействует на все эти предметы. Вообще-то это не факт, и заранее это неизвестно.
Третьим условием является предположение, что использование результата никак не влияет на арифметический процесс. В васином случае видно, что, оказывается, влияет.
Вероятно, могут быть рассмотрены и другие обстоятельства, связанные с арифметикой.
Что такое, в конце концов, арифметика, да и вся математика? Это определенный вид логики, а арифметика — один из ее разделов. Не ставя под сомнение ее полезность, хотелось бы, однако, обратить внимание на то, что даже в ней, изъезженной вдоль и поперек, есть место для дополнений и уточнений.
4. Бурная жизнь степенных многочленов
Когда-то в среднем студенческом возрасте автор столкнулся со степенным рядом. Нельзя сказать, чтобы автор сильно интересовался математикой, тем более, душевными переживаниями отдельных членов этого математического ряда. Но когда обнаружилось, что закономерности развития степенного многочлена отражают собой не только математические, но и многие общественные законы развития общества, пришлось на эту тему поразмышлять. И оказалось, что поразмышлять есть о чем.
Если каждый член такого степенного многочлена изобразить в логарифмических координатах, то сразу будет видно, что на таком графике он представляет собой прямую линию, наклон которой определяется степенью данного члена, и при разных значениях аргумента наибольшее значение имеет только один, максимум два одинаковых члена. Именно они и определяют значение всего многочлена при этом значении икса, остальные члены малы по сравнению с ними, и погоды не делают. При другом значении аргумента общая величина многочлена будет определяться уже другим членом, который раньше был мал. Но вот что интересно: если какой-то член уже побывал в роли определяющего, самого главного члена многочлена, то он уже больше никогда к этой роли не возвращается, потому что пока он почивал в роли самого главного члена, подрастали другие члены, имеющие более высокие показатели степеней.
А теперь, если на графике вместо аргумента икс по горизонтали отложить ось времени, а по вертикали роль государств, выраженную, например, в степени влияния на мировую политику, то окажется, что вся мировая история ведет себя так же, как упомянутый степенной многочлен.
Ну, в самом деле. Когда-то в древние времена мировое значение имел Египет. Это видно хотя бы из того, что во всех учебниках истории до сих пор начало цивилизации предполагается родом из Египта. Про предшествующие цивилизации мало что известно. Затем пошла Римская империя, и где-то в это время жалкие попытки составить ей конкуренцию пыталась Греция. Но затем окрепла Византия. Потом Османская империя, т. е. Турция. В Западной Европе одно время могучую державу изображала из себя Португалия, а затем Испания. Но обуржуазившаяся Англия праведными и, в основном, неправедными путями доказала испанцам, что она, а не Испания владычица морей. Наполеоновская Франция попыталась ей воспрепятствовать, но ничего из этого не вышло, и Англия долго сохраняла за собой мировое первенство. Это уже потом, в ХХ веке ее родная дочь — Америка вышибла ее из этой роли, и теперь англичане утешаются тем, что бедность — не порок.
И история пока что подтверждает тот факт, что мировая держава, однажды побывав в роли определяющей ход мировой истории, больше к этой роли уже никогда не возвращается.
А сейчас ход мировой истории определяют Соединенные Штаты Америки. И глядя на поведение степенных многочленов, соответствующее развитию истории, начинаешь задумываться, долго ли это будет продолжаться? И не пора ли великой державе США уступить свое место другим? Тем более что «благотворительная» политика Штатов многим действует на нервы, даже таким верным и благодарным их союзникам, как Германия и Япония, не говоря уж о России и Китае. А ведь, если это случится, то США уже никогда не займут первенства в мире!
5. Вероятность и невероятность
Теория вероятностей в сегодняшнем мире приобрела большое значение. С ее помощью можно высчитывать вероятности несчастных случаев и страховочные компенсации, лотерейные выигрыши и многое другое. В технике теория вероятности нашла исключительно важное применение при оценке надежности изделий, выборе резервов, а также при расчете допустимых погрешностей. Однако строго обоснованных и точных методов в теории вероятности не существует до сих пор. Что поделаешь, вероятность — она и есть вероятность!
Вероятности тех или иных событий удобно изображать в виде гистограмм или плотностей распределения вероятностей. Это вот что.
Предположим, у вас есть 100 одинаковых стержней длиной по одному метру. Они сделаны не очень точно, это и не нужно, потому что допустимая погрешность составляет ±1 см. Все стержни немного отличаются друг от друга. Выберем из общей массы те, длина которых лежит в пределах от 1000 мм до 1001 мм, поделим это число выбранных стержней на общее число стержней и получим процент этих стержней. Когда мы переберем все стержни с заданным интервалом по 1 мм и расположим все эти проценты на общем графике, в котором по горизонтали будет отложена длина, а по вертикали все эти проценты, мы и получим гистограмму. Сумма всех ординат в гистограмме всегда равна 100 %. В плотность вероятности гистограмма превращается, если все ее ординаты разделить на указанный выше интервал, в данном случае на 1 мм. Тогда по вертикали будут откладываться не проценты, а величины, обратные той, которая указана в оси абсцисс, в данном случае, 1/м, или м– 1. В принципе, это все одно и то же, пользуются тем, что удобнее.