Пуанкаре
Шрифт:
Разочарование было столь велико, что тот первоначальный энтузиазм, с которым астрономы ревностно пропагандировали новые ряды, мгновенно угас. Именно это имел в виду Вейерштрасс, когда в письме к Ковалевской подчеркивал, что "достоинство исследований Пуанкаре состоит больше в их отрицательных, а не в положительных результатах". Об этом же он пишет Миттаг-Леффлеру, указывая, что астрономов эта работа "не очень-то ободрит, так как уничтожает некоторые их давнишние иллюзии и опровергает многое из того, что казалось им прежде обоснованным. Например, доказывается расходимость рядов, к которым приводят методы Ньюкома, Линдстедта и других".
Однако обескураживающим выводам Пуанкаре кое-что противоречило. Почему применение этих непригодных рядов почти всегда приводит к хорошему совпадению теоретических расчетов с непосредственными астрономическими наблюдениями? Пуанкаре сумел разгадать и этот парадокс. Оказывается, эти расходящиеся ряды обладают весьма замечательным свойством: слагаемые их сначала
Так Пуанкаре вскрыл истинную сущность основных рабочих методов небесной механики, дал совершенно новое видение применяемых в ней математических средств. Он развенчал широко использовавшиеся астрономами ряды, которые казались некоторым истиной в последней инстанции. Но это не было бесплодным отрицанием, обрекающим их на забвение. Пуанкаре оправдал применение этих рядов в определенных пределах и указал те границы, в которых они дают верные результаты. По существу, он дал еще одно толкование понятия «решение» дифференциального уравнения, еще один его вариант — интегрируемость расходящимися рядами. С этой целью Пуанкаре четко разграничивает два различных понимания термина «сходимость». Чистые математики говорят, что ряд сходится и может служить решением дифференциального уравнения, если сумма его членов стремится в пределе к какой-то конечной величине. При этом их совершенно не волнует то обстоятельство, что первые слагаемые могут убывать чрезвычайно медленно и при практических расчетах с такими рядами получается чересчур низкая, никого не устраивающая точность. Астрономы же будут считать ряд сходящимся и пригодным для решения своих задач, если взятые подряд его первые члены, скажем, в количестве двадцати, быстро убывают, пусть даже все следующие после них слагаемые неограниченно возрастают. Обе точки зрения законны, считает Пуанкаре, одна в сугубо математических исследованиях, Другая в прикладных численных расчетах. Но второй подход давал право на плодотворную жизнь расходящимся бесконечным рядам, которые до этого считались практически совершенно бесполезными.
Именно после работ Пуанкаре интерес к расходящимся рядам настолько возрос, что в 1898 году Парижская академия объявила конкурс на тему "Исследование возрастающей роли расходящихся рядов в анализе". Большим призом был отмечен мемуар молодого, только что завоевавшего известность математика Эмиля Бореля, которому предстояло в ближайшем будущем существенно продвинуть вперед теорию решения дифференциальных уравнений с помощью расходящихся рядов. На последних страницах книги мы еще встретимся с этим уже ставшим знаменитым математиком, который сыграет немаловажную роль в упрочении посмертной славы Анри Пуанкаре.
Таким образом, несмотря на расходимость рядов, ничто не мешало астрономам использовать их в своей практической работе. Нужно было только помнить о том, что точность решения, которое можно вычислить с их помощью, в принципе ограничена, и невозможно сколь угодно близко подходить к истинной предельной величине.
Периодические решения
Если Париж не веселится и не поет в свой традиционный июньский праздник — это самый верный признак его недовольства. Особенно мрачно и уныло выглядел в июньские дни 1893 года Латинский квартал. Не видно и тени всегдашнего безудержного веселья, захлестывавшего некогда его улицы. Пуанкаре с семьей по-прежнему обитает в этом районе столицы (теперь уже на улице Клода Бернара), оказавшись в центре последних трагических событий, взбудораживших весь город.
Началось все с судебного приговора по делу устроителей бала "Четырех искусств", наделавшего много шума прошедшей зимой. Сенатор Беранже и академики Жюль Симон и Пасси, основываясь на сообщениях одной газеты, обратились к прокурору с требованием наказать учеников парижских художественных мастерских — зачинщиков этого безнравственного, по их мнению, мероприятия. Хроникер газеты сообщил о том, что костюмы некоторых особ женского пола на этом балу имели якобы весьма фривольный вид. Состоявшееся несколько месяцев спустя заседание суда носило довольно забавный характер. Все очевидцы, в том числе полицейский комиссар, в один голос утверждали, что на балу не происходило ничего предосудительного. На маскарадах Большой оперы можно наблюдать во, много раз более безнравственные сцены, которые тем не менее никем не осуждаются. Адвокаты подсудимых изощряли свое остроумие по поводу возбудивших дело ревнителей морали преклонного возраста, вспоминая
Около двух тысяч студентов отпраздновали свою победу, устроив под окнами Беранже и Симона кошачьи концерты. Но несколько позднее, когда веселящаяся толпа молодежи с виноградными листьями на головных уборах и в петлицах вернулась на бульвар Сен-Мишель, на нее набросился отряд полиции, нанося налево и направо удары кулаками, ногами и даже саблями в ножнах. Один юноша ударом в висок был убит полицейским наповал. После этого события приняли уже совсем иной оборот.
Возвращаясь из университета, Пуанкаре с удивлением замечает группы возбужденных студентов, возводящих баррикады из киосков, скамеек, фонарных столбов. Вскоре в ход пошли проезжавшие мимо экипажи и омнибусы. Решив обогнуть этот неспокойный участок, он сворачивает в сторону и, миновав несколько улиц, наталкивается на застывший в выжидательной позиции кирасирский полк. Вечером ему сообщают, что объявлено осадное положение. В течение нескольких дней Латинский квартал оставался ареной ожесточенных столкновений между студентами и полицией. В Палате депутатов вспыхивают яростные, скандальные дебаты. Радикальная и социалистическая партии обнародовали свои манифесты по поводу происходящих событий. Прохожим на улицах раздают воззвания, отпечатанные на ярко-красной бумаге. Все настороженно ждут, не перекинутся ли беспорядки в Бельвилль и другие рабочие предместья Парижа. По железной дороге в город спешно прибывают 15 тысяч кавалеристов.
После безжалостного подавления студенческих волнений на стенах домов появляются призывы к парижанам не принимать участия в официально проводимом празднестве. Большая часть жителей столицы, возмущенных бесчинствами полиции, действительно не примкнула к праздничным шествиям и гуляньям. Ежегодно проводимые торжества на этот раз состоялись при скудном стечении публики.
В омраченном настроении Пуанкаре покинул Париж, чтобы под сенью тихого сада в Лозере засесть над страницами третьего тома "Новых методов". Часами просиживает он над большими листами линованной бумаги, с поразительной быстротой покрывая их формулами и строками текста, написанными тонким, угловатым почерком. Порой его рука машинально выписывает подряд одну и ту же формулу, как бы побуждая замершую мысль следовать прихотливой цепи математических ассоциаций. Пишет Пуанкаре легко, ясным, точным языком, не стремясь к какой-либо эстетической выразительности оборотов своей речи. Но неправильная орфография его всегда коробила. В оставшихся после него рукописях очень мало помарок. Исправления автор вносит только для того, чтобы придать больше силы и убедительности своему изложению, чтобы лучше оттенить тончайшие нюансы мысли. Кроме точности выражения, у него нет другой заботы.
Прежде чем приступить к новой главе, он набрасывает порой кое-какие предварительные заметки или же просто располагает на листе бумаги в определенном порядке те положения, которые ему следует развивать. Закончив главу, он уже больше к ней не возвращается, даже если сознает, что она еще далека от стилистического совершенства. Очень редко Пуанкаре редактировал свои статьи и мемуары. Издатели жаловались, что с трудом могут заставить его хотя бы просмотреть корректурные листы. Но происходило это не от небрежности и не от отсутствия внутренней потребности в совершенстве, о чем свидетельствует его собственное признание: "Никогда еще я не закончил ни одной работы, не испытав чувства неудовлетворенности тем, как я ее отредактировал, или принятым мною планом". Могучий напор идей, обилие новых мыслей и догадок, требующих математической проверки и доказательства, не оставляют ему ни сил, ни времени для последующей литературной обработки своего произведения.
По замыслу Пуанкаре, заключительный том его "Новых методов" должен был резко отличаться от уже выходящего из печати второго тома, посвященного интегрированию дифференциальных уравнений рядами. В нем он снова возвращается к разработанным им ранее качественным методам исследования дифференциальных уравнений, применение которых в задачах небесной механики было продемонстрировано еще в отдельных главах первого тома.
Ровно десять лет назад, в 1883 году, молодой преподаватель Сорбонны Анри Пуанкаре, заинтересовавшись периодическими решениями дифференциальных уравнений, опубликовал по этому вопросу свои первые результаты. Никаких общих методов нахождения таких решений в небесной механике не было. В свое время Эйлер и Лагранж указали для задачи трех тел пять частных случаев, когда при особых начальных условиях движение принимает периодический характер. И вот теперь от единичных, разрозненных фактов Пуанкаре поднимается до глубоких теоретических обобщений. В первом томе его труда периодическим решениям и их применению в небесной механике посвящены две главы. В них заложена основа того, что и сейчас еще представляется астрономам-теоретикам весьма актуальным и многообещающим направлением в исследовании движений небесных тел. Еще большее значение имела эта теория для предсказания эволюции планетных орбит в солнечной системе.