Пуанкаре
Шрифт:
Так продолжалось до тех пор, пока К. Вейерштрасс, заинтересовавшийся этим вопросом, не подверг эту необоснованную уверенность сокрушительной математической критике. Его выводы повергли математиков в смятение. Весьма важный и широкоупотребительный принцип Дирихле сразу стал камнем преткновения. Строго доказать этот принцип никто не мог, а применять, как и раньше, не утруждая себя его обоснованием, казалось уже неправомерным. Не будь он столь важным и необходимым, от него давно бы отказались, столь велики были трудности, связанные с его доказательством. Но принцип Дирихле с успехом использовался в задачах гидродинамики, в теории упругости, в теории распространения тепла, в теории электричества, в теории ньютоновского притяжения и в других прикладных теориях. Время шло, а решение проблемы не приходило.
Пуанкаре приступил к этой труднейшей проблеме в самый разгар своих небесномеханических увлечений. В 1890 году вышел в свет его мемуар, в котором он доказал существование функции, удовлетворяющей условиям задачи Дирихле, то есть доказал возможность ее решения. Добиться успеха помог ему весьма остроумный и оригинальный математический метод, названный автором методом выметания. Так впервые был обоснован принцип Дирихле для довольно широкого класса задач. "Одного этого исследования, независимо от всех других, было бы, на мой взгляд, достаточно, чтобы доставить автору почетную известность", — заявил видный советский математик, академик В. А. Стеклов.
В 1894 и 1896 годах появляются еще два больших мемуара Пуанкаре, посвященных решению дифференциальных уравнений с частными производными. В них автор решает задачи о распределении теплоты в твердом теле, о звуковых частотах, издаваемых вибрирующей мембраной. В них же он применяет расширенный им метод К. Неймана для решения задачи Дирихле. Эти исследования привели его к открытию новых функций, которые называются теперь фундаментальными функциями Пуанкаре.
В последнем десятилетии XIX века академик Пуанкаре демонстрирует наиболее щедрую отдачу идей, несмотря на завидное непостоянство интересов. Стремительными переходами от вопроса к вопросу, от проблемы к проблеме отмечен этот период его научной деятельности. Сегодняшние темы его научных работ непохожи на вчерашние и не имеют ничего общего с теми, что завладеют его умом завтра. Такие различные по характеру и содержанию, они накладываются друг на друга, совмещаясь во времени, конкурируют в его сознании и оспаривают друг у друга драгоценные часы его творчества.
Постоянная потребность видеть новое была отличительной чертой характера Пуанкаре. Для него гораздо важнее то, что будет, чем то, что есть. Поэтому он вечно в пути, вечно в погоне за убегающим горизонтом, за недостижимой во всей своей полноте и во всем своем многообразии научной истиной. Мысль его всегда нацелена вперед, в еще не наступивший день, как будто она стремится опередить саму себя, едва назревшие свои решения. Только что Пуанкаре исследовал периодические движения небесных тел, и вот уже внимание его приковано к доказательству теоремы Клаузиуса в термодинамике; не успев закончить обоснование принципа Дирихле, он уже публикует основополагающий труд по топологии. Головокружительная смена стилей и методов, тем и теорий вызывает в воображении образ всадника на горячем, нервном скакуне.
Некоторые из хорошо знавших Пуанкаре современников свидетельствовали, что когда он чувствовал интерес к проблеме, то включался в работу легко и непринужденно. Именно в такие минуты с наибольшей силой проявлялась его ставшая уже легендарной рассеянность. Зато с большим трудом сбрасывал он умственное напряжение, если решение задачи не было еще завершено. Во время вынужденных перерывов его творчество продолжалось подсознательно даже в часы отдыха. Поэтому Пуанкаре, страдавший бессонницей, избегал работать поздно вечером, после ужина. Если же тема не привлекала его, то он не мог чисто волевым усилием заставить себя трудиться над ней. Собственная незаинтересованность была для него самым непреодолимым препятствием в научной деятельности. Впрочем, интересы ученого были столь широки, что такое случалось нечасто.
С 1893 года Пуанкаре можно было встретить в небольшом зале Института Франции, где заседало Бюро долгот. Его выбрали членом этого авторитетнейшего научного учреждения. И это не было простой данью быстро растущему престижу знаменитого ученого. Он становится одним из наиболее деятельных
В 1901 году выходят в свет две его статьи о гравиметрических измерениях и об отклонениях от вертикали в геодезических исследованиях. Геодезия какой-то своей гранью примыкает к обширному математическому миру, и эти работы не стояли в стороне от его основного научного творчества. Известно, что великий Гаусс, "гёттингенский колосс", к важнейшим своим результатам по дифференциальной геометрии и теории поверхностей пришел от практических задач, которые ему приходилось решать при геодезической съемке Ганноверского королевства. Точно так же геодезические и картографические работы Бельтрами привели его к исследованиям по дифференциальной и неевклидовой геометрии. Но для Пуанкаре те задачи, которые входили в компетенцию Бюро долгот, сами по себе представляли непосредственный интерес. Когда был предложен проект об уточнении длины дуги меридиана, французское правительство передало его на рассмотрение Пуанкаре, который представил самый детальный отзыв, обсудив даже финансовую сторону дела. В начале XX века он руководит деятельностью геодезической экваториальной экспедиции, выполнявшей новые, более точные измерения дуги меридиана, не проводившиеся с XVIII века.
Порой сугубо математические исследования приводят Пуанкаре к решению прикладных задач, а те, в свою очередь, привлекают его внимание к новым математическим проблемам. Так, например, удачно применив расширенный им метод Неймана к уравнению Лапласа, он решил исследовать этим же математическим приемом равновесие и движение морей. Над задачей этой бились многие поколения ученых, начиная с самого Ньютона, разработавшего первую статическую теорию приливов. Лорд Кельвин, развивая эту статическую теорию, получил явные несообразности. По его вычислениям получалось, что упругие постоянные твердого ядра Земли должны превосходить упругие постоянные стали. Проанализировав его решение, Пуанкаре указал, какие следует внести дополнения в расчеты. Но с этими исправлениями математическая теория приливных колебаний морей существенно усложнилась.
В двух своих статьях 1896 года о равновесии и движении морей Пуанкаре возлагает надежды на теорию интегральных уравнений, которая должна принести решение задачи, столь долго испытывавшей терпение исследователей. С этого момента часть его усилий направлена в эту новую, весьма не разработанную еще область математики. В круг его внимания, помимо дифференциальных уравнений, попадает еще один математический объект — интегральные уравнения. Все первое десятилетие XX века у него будет сохраняться к ним интерес.
Математическое отделение Академии наук состояло из пяти секций: геометрии, механики, астрономии, физики, географии и навигации. До этого времени у Пуанкаре были все основания, чтобы числиться по любой из первых четырех секций. Новые его работы по геодезии и теории морских приливов давали ему право войти в пятую секцию. Широта его интересов вполне совмещалась с широтой охвата научных проблем математическим отделением академии, а последняя, в свою очередь, определялась запросами той эпохи. На примере многих работ Пуанкаре легко проследить, как его исследования, порой кажущиеся весьма отвлеченными, на самом деле подсказываются потребностями прикладного характера. Но от самого Пуанкаре можно услышать как будто бы иное мнение. "…Я не становлюсь на точку зрения тех лиц, которые ценят в науке только ее прикладную часть. Мне не надо добавлять, что я не разделяю такой точки зрения", — пишет он в одной из своих статей. В другом случае он заявляет еще более категорично: "Наука, созданная исключительно в прикладных целях, невозможна; истины плодотворны только тогда, когда между ними есть внутренняя связь. Если ищешь только тех истин, от которых можно ждать непосредственных практических выводов, то связующие звенья исчезают и цепь разрушается". Говоря о формуле "наука для науки", он добавляет, что это стоит тезиса "жизнь для жизни" или "счастье для счастья".