Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма
Шрифт:
Эти проблемы (а также многие другие, которые Ферма также поднял в своей корреспонденции, хотя и не говорил о них открыто) требовали знания уравнения Пелля, общее решение которого Ферма, без сомнения, нашел: х2– py2 = 1, если р — простое число.
К несчастью, Ферма не получил желаемого ответа. Корреспонденты считали его задачи неразрешимыми. Так что через некоторое время ученый опубликовал некоторые свои результаты и заявил о необходимости решения теоретических проблем более общего характера. В частности, Ферма изложил уравнение Пелля и попросил решений.
Данное письмо было практически исповедью. Ферма начинал жаловаться на отсутствие исследователей, которые занимались бы чисто арифметическими проблемами (задачами теории чисел). Он связывал это с тем, что геометрия и ее методы
Программа Ферма теперь была открыта. Сам того не зная, поскольку он считал, что возрождает древнее искусство, математик закладывал основы чего-то совершенно нового: арифметической науки, которую, без влияния геометрии, можно было бы изучать саму по себе с тем же успехом, что и греческую геометрию. К несчастью, никто до Эйлера не рассматривал ее таким образом. Ферма был одинок среди современников. Френикль решил первую проблему и послал четыре результата. Он был неспособен (и, возможно, Ферма знал это) дать ее решение в общем виде. Ответ Уоллиса не мог быть более обескураживающим. Он написал виконту Уильяму Браункеру, который довел до него вызов Ферма, что не существует общих уравнений для решения подобных задач, и на них у него, занятого другими делами, нет времени. Далее он презрительно предложил тривиальное решение обеих проблем: число 1. Его ответ не дошел до Ферма. Он остался в Париже, где Дигби показал письмо Френиклю, который, в свою очередь, поспорил с Уоллисом, может ли 1 считаться числом. Зато до Ферма дошло решение Браункера, с которым Уоллис был согласен. Ученый увидел, что ни Браункер, ни Уоллис его не поняли: он настаивал на получении целых решений, а Браункер выявил метод нахождения дробных результатов.
Ферма ответил Дигби письмом, в котором говорил, что любой глупец может найти решение Браункера и Уоллиса. Подумав о традиционной вражде между англичанами и французами, он, возможно и не желая этого, высказался, по мнению англичан, оскорбительно, заявив, что "урожай определяется по полю, на котором он вырос". Таким образом Ферма намекнул на отсутствие у них математического таланта, а затем, подлив еще масла в огонь, тулузец добавил к своему письму суровую критику книги Уоллиса, которую ему вручил Дигби.
Мы ждем этих решений, и если Англия, Бельгия или Кельтская Галлия не получат их, то их предоставит Нарбоннская Галлия.
Отрывок из письма, которое Ферма написал 3 января 1657 года Клоду Мартену де Лорандберу, бросая вызов европейским математикам
Ответ Ферма дошел до всех заинтересованных лиц, но последующая полемика проходила без тулузца, превратившись в состязание между Френиклем и Дигби, с одной стороны, и Уоллисом и Браункером, с другой. Уоллис настаивал на том, что в этих задачах, которые можно было придумать в большом количестве, не было никакой пользы и сложности. Он не видел теоретических аспектов, замеченных Ферма. Задачи казались бессмысленным развлечением, не заслуживающим внимания "всей Англии, Франции и Голландии".
Уоллис считал, что таких предложений бесконечное множество, и все они скучны и нецелесообразны, поэтому он не понимал, почему Ферма придает такое значение тому, чтобы удивить Френикля своими "смелыми" утверждениями о частных уравнениях с ограниченным (или нулевым) числом решений. Как мы увидели, Уоллис серьезно ошибался. Проблемы, поставленные Ферма, привели к очень плодотворным исследованиям.
Однако Ферма не сдавался. В письме Дигби в июне 1658 года он говорил о своей надежде на то, что Уоллис и Браункер поймут все так, как он считает нужным. Гораздо более примирительным тоном ученый просто просил, чтобы англичане признали свою ошибку. Уоллис так и не ответил. Он ограничился тем, что добавил его письмо к заключению к своей книге об этой полемике. Попытка Ферма добиться того, чтобы теория чисел пересекла Ла-Манш, провалилась. По иронии, Джон Пелль, малозначимый английский математик, скопировал уравнение Ферма (которое, с другой стороны, уже было известно в Индии) из книги Уоллиса. Его работа дошла до рук Эйлера, который, не зная, кто истинный автор, назвал данное выражение уравнением Пелля. Вновь Ферма был обманут последующим поколением.
Все больше сдающийся и разочарованный Ферма предпринял последнюю попытку заинтересовать всех своей страстью и новым миром, о котором догадывался только он. Эта попытка была связана со знаменитым нидерландским математиком Христианом Гюйгенсом, который написал в 1656 году тулузцу, призывая его опубликовать свои результаты.
Ферма в конце концов создал небольшой трактат, который послал Каркави, чтобы тот переправил его Гюйгенсу. В данном трактате математик говорит, среди прочего, о методе бесконечного спуска (мы уже упоминали о нем в связи с Великой теоремой) и объясняет, как он воспользовался им для доказательства результата о разложении простых чисел 4k + 1 на сумму двух квадратных чисел, едва набросав доказательство. Вновь победила скрытность Ферма, демонстрируя результаты, изложенные без доказательства, едва намеченные доказательства и неполные описания исследования.
В завершение Ферма ссылался на отсутствие времени для написания законченного трактата и выражал надежду на то, что другие математики заполнят эти пробелы (он имел в виду конкретно Френикля и Каркави). Он писал: "Последующие поколения, возможно, поблагодарили бы меня за то, что я показал, что древние знали не все".
Гюйгенс повторно выразил свое восхищение им, но, как ранее и Паскаль, отказался участвовать в исследовании новой теории чисел. Так же как и другие математики того времени, он не видел пользы в том, чтобы заниматься этими проблемами. Гюйгенс был прикладным математиком, человеком, интересующимся проблемами физики и их решением с помощью математики. Ферма, наоборот, такие проблемы не интересовали. Разногласие между обоими подходами к математике оказалось неразрешимым. Если в начале переписки Гюйгенс был воодушевлен Ферма, то ее продолжение все больше разочаровывало его. Кроме того, что он не понимал открытий Ферма в области теории чисел, его запись, в которой тот был верным последователем Виета, была сложной для Гюйгенса в сравнении с более ясной записью Декарта. Проблемы, поставленные Ферма, были либо тривиальными, либо уже решенными, поскольку иногда математик посылал ему свои прошлые исследования, возможно не зная, что они уже устарели. Постепенно переписка прекратилась, а с ней пропала и последняя для Ферма возможность привлечь ученика к работе над его исследованиями.
ГЛАВА 4
Аналитическая геометрия
Научная деятельность Ферма не ограничивалась теорией чисел. В XVII веке начинали развиваться аналитическая геометрия и математический анализ, и ученый стал одним из их основоположников. И теперь, в отличие от истории с теорией чисел, французский математик действовал как часть научного сообщества, что способствовало полному признанию его открытий еще при жизни.
И вновь для того чтобы понять вклад Ферма в науку, обратим свой взгляд назад, к самому рождению алгебры. После огромной эллинской славы в течение Средних веков западная математика пережила период угасания: в Европе сложно найти оригинальную работу по математике до Фибоначчи, который жил на рубеже XII и XIII веков. В мусульманском мире, наоборот, греческое наследие было изучено и развито дальше. Мусульмане, среди многих других греческих авторов, перевели Аристотеля, Евклида, Птолемея, Аполлония и Диофанта. Кроме того, они также сделали две важнейшие вещи: развили алгебру и ввели в обиход арабские цифры, распространив их вместе с использованием десятичных дробей.
Невозможно представить себе развитие западной математики без языка арабских чисел. Греки не умели выражать иррациональные числа, а неспособность выразить что-то является препятствием для развития научной мысли. Только представляя себе некий объект, человек способен рассуждать о нем. По этой причине введение арабских чисел стало одной из великих научных революций. Мы получили, в первую очередь, понятие "ноль". Наконец-то стало ясно, что "ничто" можно выразить. Также появилась форма записи десятичных дробей, приближенная к записи иррациональных чисел. Кроме того, арабская система дала нам возможность осуществлять алгоритмически (то есть на основе правил) самые основные операции: сложение, вычитание, умножение, деление. Вместо того чтобы работать со счетами, которые необходимы при использовании римских цифр, впервые стало возможным осуществлять операции в уме в соответствии с простыми правилами, которые может выучить любой школьник.