Собрание сочинений, том 20

Энгельс Фридрих

Подобно основным формам бытия, г-н Дюринг считает также возможным вывести всю чистую математику непосредственно из головы, априорно, т. е. не прибегая к опыту, который мы получаем из внешнего мира.

В чистой математике, — утверждает г-н Дюринг, — разум имеет дело с «продуктами своего собственного свободного творчества и воображения»; понятия числа и фигуры представляют собой «достаточный для нее и создаваемый ею самой объект», и потому она имеет «значение, независимое от особого опыта и от реального содержания мира».

Что чистая математика имеет значение, независимое от особого опыта каждой отдельной личности, это, конечно, верно, но то же самое можно сказать о всех твердо установленных фактах любой науки и даже о всех фактах вообще. Магнитная полярность, состав воды из водорода и кислорода, тот факт, что Гегель умер, а г-н Дюринг жив, — все это имеет значение независимо от моего опыта или опыта других отдельных личностей, даже независимо от опыта г-на Дюринга, когда последний спит сном праведника. Но совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами своего собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь,

а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творчества разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже и способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития. Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было прийти к понятию фигуры. Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные a и b, x и y, постоянные и переменные величины, и только в самом конце мы доходим до продуктов свободного творчества и воображения самого разума, а именно — до мнимых величин. Точно так же выведение математических величин друг из друга, кажущееся априорным, доказывает не их априорное происхождение, а только их рациональную взаимную связь. Прежде чем прийти к мысли выводить форму цилиндра из вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, нужно было исследовать некоторое количество реальных прямоугольников и цилиндров, хотя бы и в очень несовершенных формах. Как и все другие науки, математика возникла из практических потребностей людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики. Но, как и во всех других областях мышления, законы, абстрагированные из реального мира, на известной ступени развития отрываются от реального мира, противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, с которыми мир должен сообразоваться. Так было с обществом и государством, так, а не иначе, чистая математика применяется впоследствии к миру, хотя она заимствована из этого самого мира и только выражает часть присущих ему форм связей, — и как раз только поэтому и может вообще применяться.

Подобно тому как г-н Дюринг воображает, что из математических аксиом, которые т с чисто логической точки зрения не допускают обоснования, да и не нуждаются в нем», можно без всякой примеси опыта вывести всю чистую математику, а затем применить ее к миру, — точно так же он воображает, что он в состоянии сначала создать из головы основные формы бытия, простые элементы всякого знания, аксиомы философии, из них вывести всю философию, или мировую схематику, и затем высочайше октроировать эту свою конституцию природе и человечеству. К сожалению, природа вовсе не состоит из мантёйфелевских пруссаков 1850 г. [38] , а человечество состоит из них лишь в самой ничтожной части.

38

Намек на рабскую покорность пруссаков, принявших конституцию, которая была октроирована («дарована») королем 5 декабря 1848 г. одновременно с разгоном прусского Учредительного собрания. Конституция, в выработке которой принимал участие реакционный министр Мантёйфель, была окончательно одобрена Фридрихом-Вильгельмом IV 31 января 1850 года.

Математические аксиомы представляют собой выражения крайне скудного умственного содержания, которое математике приходится заимствовать у логики. Их можно свести к следующим двум:

1. Целое больше части. Это положение является чистой тавтологией, ибо взятое в количественном смысле представление «часть» уже заранее относится определенным образом к представлению «целое», а именно так, что «часть» непосредственно означает, что количественное «целое» состоит из нескольких количественных «частей». Оттого, что так называемая аксиома вполне определенно это констатирует, мы ни на шаг не подвинулись вперед. Эту тавтологию можно даже до известной степени доказать, рассуждая так: целое есть то, что состоит из нескольких частей; часть есть то, что, будучи взято несколько раз, составляет целое; следовательно, часть меньше целого, — причем пустота содержания еще резче подчеркивается пустотой повторения.

2. Если две величины порознь равны третьей, то они равны между собой. Как доказал уже Гегель, это положение представляет собой заключение, за правильность которого ручается логика [39] , — которое, стало быть, доказано, хотя и вне области чистой математики. Прочие аксиомы о равенстве и неравенстве представляют собой только логическое развитие этого заключения.

На этих тощих положениях ни в математике, ни где бы то ни было в другой области далеко не уедешь. Чтобы подвинуться дальше, мы должны привлечь реальные отношения, отношения и пространственные формы, отвлеченные от действительных тел. Представления о линиях, поверхностях, углах, многоугольниках, кубах, шарах и т. д. — все они отвлечены от действительности, и нужна изрядная доза идеологической наивности, чтобы поверить математикам, будто первая линия получилась

от движения точки в пространстве, первая поверхность — от движения линии, первое тело — от движения поверхности и т. д. Даже язык восстает против этого. Математическая фигура трех измерений называется телом, corpus solidum по-латыни, следовательно — даже осязаемым телом, и, таким образом, она носит название, взятое отнюдь не из свободного воображения ума, а из грубой действительности.

39

См. Гегель. «Энциклопедия философских наук», § 188; а также «Наука логики», кн. III, отд. I, гл. 3, параграф о четвертой фигуре умозаключения наличного бытия, и отд. III, гл. 2, параграф о теореме.

Но к чему все эти пространные рассуждения? После того как г-н Дюринг на страницах 42 и 43 [40] вдохновенно воспел независимость чистой математики от эмпирического мира, ее априорность, ее оперирование продуктами свободного творчества и воображения ума, он на странице 63 заявляет:

«Легко упускают из виду, что эти математические элементы (число, величина, время, пространство и геометрическое движение) идеальны только по своей форме... Абсолютные величины, какого бы рода они ни были, представляют собой поэтому нечто совершенно эмпирическое»... Однако «математические схемы допускают такую характеристику, которая обособлена от опыта и тем не менее является достаточной»,

40

В первом отделе «Анти-Дюринга» все такого рода ссылки на страницы относятся к книге Дюринга «Курс философии».

что более или менее применимо ко всякой абстракции, но вовсе не доказывает, что последняя абстрагирована не из действительности. В мировой схематике чистая математика возникла из чистого мышления; в натурфилософии она — нечто совершенно эмпирическое, взятое из внешнего мира и затем обособленное. Чему же мы должны верить?

IV. МИРОВАЯ СХЕМАТИКА

«Всеобъемлющее бытие единственно. Будучи самодовлеющим, оно не допускает ничего рядом с собой или над собой. Присоединить к нему второе бытие значило бы сделать его тем, чем оно не является, а именно — частью или элементом более обширного целого. Благодаря тому, что мы словно рамой охватываем все нашей единой мыслью, — ничто из того, что должно войти в это мысленное единство, не может сохранить в себе какую-либо двойственность. Но ничто не может также и остаться вне этого мысленного единства... Сущность всякого мышления состоит в объединении элементов сознания в некоторое единство... Именно благодаря объединяющей способности мышления возникает неделимое понятие о мире, а универсум, как показывает уже само слово, признается чем-то таким, в нем все объединено в некоторое единство».

Так говорит г-н Дюринг. Математический метод, согласно которому

«всякий вопрос должен быть решаем аксиоматически на простых основных формах, как если бы дело шло о простых... принципах математики», —

этот метод применен здесь впервые.

«Всеобъемлющее бытие единственно». Если тавтология, простое повторение в предикате того, что уже было высказано в субъекте, — если это составляет аксиому, то мы имеем здесь аксиому чистейшей воды. В субъекте г-н Дюринг говорит нам, что бытие охватывает все, а в предикате он бесстрашно утверждает, что в таком случае ничто не существует вне этого бытия. Какая колоссальная «системосозидающая идея»!

И в самом деле — «системосозидающая». Не успели мы прочитать и шести строк, как г-н Дюринг посредством «нашей единой мысли» уже превратил единственность бытия в его единство. Так как, по Дюрингу, сущность всякого мышления состоит в объединении в некоторое единство, то бытие, коль скоро оно мыслится, мыслится как единое, и понятие о мире есть неделимое понятие; а раз мыслимое бытие, понятие о мире, едино, то и действительное бытие, действительный мир, также составляет неделимое единство. И поэтому

«для потусторонностей не остается уже никакого места, как только дух научается охватывать бытие в его однородной универсальности».

Перед нами поход, который совершенно затмевает Аустерлиц и Йену, Кёниггрец и Седан [41] . В каких-нибудь двух-трех положениях, через какую-нибудь страничку, — считая с того места, где мы мобилизовали первую аксиому, — мы успели уже отменить, устранить, уничтожить все потусторонности, бога, небесное воинство, небеса, ад и чистилище, вместе с бессмертием души.

41

Энгельс перечисляет ряд крупнейших сражений в европейских войнах XIX века.

Сражение под Аустерлицем 2 декабря (20 ноября) 1805 г. между русскими и австрийскими войсками, с одной стороны, и французскими — с другой, закончилось победой Наполеона I.

Сражение при Йене между французской армией под командованием Наполеона и прусскими войсками произошло 14 октября 1806 года. Закончившееся разгромом прусской армии, это сражение повлекло за собой капитуляцию Пруссии перед наполеоновской Францией.

Сражение при Кёниггреце (в настоящее время Градец-Кралове) произошло 3 июля 1866 г. в Чехии между австрийскими и саксонскими войсками, с одной стороны, и прусскими войсками — с другой, и явилось решающим сражением в австро-прусской войне 1866 г., которая закончилась победой Пруссии над Австрией. В истории это сражение известно также как битва при Садове.

Сражение при Седане 1—2 сентября 1870 г., в котором прусские войска нанесли поражение французской армии Мак-Магона и вынудили ее капитулировать, явилось решающим сражением франко-прусской войны 1870—1871 годов.