Солнечная система (Астрономия и астрофизика)
Шрифт:
Можно заключить, что все три предположения выполняются для крупных тел Солнечной системы и для большинства звезд. Хотя бы одно из них неверно для тесных двойных звезд, туманностей и молекулярных облаков, мелких (менее 200-300 км в диаметре) тел, бурно выделяющих энергию звезд. Эти случаи исключим из рассмотрения. Какую форму примет самогравитирующее неподвижное небесное тело? Без всяких вычислений ясно, что форму шара, причем плотность вещества будет зависеть лишь от расстояния до центра шара, убывая от центра к краю. Всякое поднятие над поверхностью должно расползтись, выемка — заполниться, всякое более тяжелое включение должно опуститься, более легкое — всплыть. А нет ли еще каких-либо неожиданных экзотических фигур равновесия неподвижного тела? Нет, и это доказал наш великий соотечественник А.М. Ляпунов (1857—1918), петербургский академик. Как обычно, доказательство несуществования оказалось очень сложным. Стоило ли вообще им заниматься? Стоило, ведь интуиция может подвести, как это видно на примере эллипсоидов Якоби и груш Пуанкаре (см. ниже). Вот откуда шарообразность Луны, Земли, Солнца и множества других небесных тел: правит бал
Теперь включим вращение. В наших предположениях тело будет вращаться вокруг неподвижной оси как целое. Такое вращение называют твердотельным: тело жидкое, но вращается, как будто оно твердое, так что расстояния между частицами неизменны. Действительно, всякие внутренние течения без источников энергии должны в конце концов затухнуть из-за трения.
Раз вращение твердотельно, естественно рассматривать положение каждой частицы в системе отсчета, жестко связанной с небесным телом, вращающейся вместе с ним. Именно такая система естественна для всех, кроме космонавтов. Сидя на стуле, мы считаем себя неподвижными, хотя вертимся вместе с Землей с угловой скоростью 1 оборот в сутки, чему соответствует линейная скорость на экваторе 460м/с (в Петербурге она снижается до 230м/с). Однако вращающаяся система, как принято говорить в физике, неинерциальна. Это значит, что правильное описание движений в такой системе достигается введением сил инерции. В случае равномерного вращения вокруг неподвижной оси таких сил две: кориолисова и центробежная. Кориолисова действует лишь на движущиеся в нашей системе частицы и исчезает, если они не перемещаются друг относительно друга. Центробежная направлена прочь от оси вращения (правильнее было бы говорить об «осебежной» силе, но так не принято) и сообщаемое ею ускорение равно 2R, где — угловая скорость, R — расстояние до оси. Частица ощущает лишь векторную сумму двух сил: тяготения и центробежной. Сумма эта называется силой тяжести. Направление последней воспринимается как «низ», противоположное — «верх».
Поверхность находящейся в равновесии фигуры должна быть перпендикулярна силе тяжести. Тогда маленький участок поверхности кажется горизонтальным. В противном случае этот участок будет наклонным, и жидкость потечет сверху вниз. Ясно, что шар уже не может служить фигурой равновесия. Она должна быть сжата у полюсов (рис.6). Чтобы найти поверхность тела T, нужно перевести выделенные курсивом слова на язык уравнений и решить их. Вы знаете немало примеров того, как коротенькая формула заменяет долгое и неуклюжее словесное описание. Здесь ситуация противоположна: коротенькая фраза, выражающая физический смысл явления, приводит к сложным и громоздким уравнениям. Ведь тяготение описывается тройным интегралом по телу, форма которого неизвестна! Задача о форме небесных тел далека от окончательного решения, хотя основные результаты получили еще классики: И. Ньютон, К. Маклорен, Дж. Дарвин (Великобритания), П. Лаплас, Э. Рош (Франция), К. Якоби, Л. Лихтенштейн (Германия), П.Л.Чебышёв, А.М. Ляпунов (Россия), С. Чандрасекар (Индия, США) и другие.
Рис.6. Силы, действующие на поверхностную частицу тела во вращающейся вокруг оси z системе отсчета: F1 — сила тяготения, F2 — центробежная сила, F — результирующая сила тяжести. Слева — сечение шара, справа — фигуры равновесия; ГГ — линия математического горизонта.
Не слишком быстро вращающееся однородное тело принимает форму сжатого эллипсоида вращения (эллипсоида Маклорена). Его параметры — большая и малая полуоси — однозначно определяются массой и угловой скоростью вращения (рис.7). Если вращать быстрее, появляются трехосные эллипсоиды (эллипсоиды Якоби). Их открытие — а они появились как решение некоторой системы уравнений — повергло ученый мир в изумление. Интуиция ясно говорила, что однородное вращающееся тело должно быть телом вращения, каламбур воспринимался как тавтология! Ан нет! Вращение тела не обязано давать тела вращения! Потом были открыты еще более экзотические тела: вращающиеся на боку груши и даже тела с волнистой поверхностью. Правда, подобная экзотика существует только на бумаге (употребим старое выражение, как-то неловко звучит «на электронных носителях»). Реальные тела вертятся медленно, и для них выполнена теорема Ляпунова: фигура равновесия осесимметрична и обладает экватором, т.е. каждое меридиональное сечение одинаково, северное и южное полушария одинаковы. Даже скучновато немного. Но природа изощренна и сумела обойти ограничения Ляпунова в тесных двойных и полуразделенных системах, где нарушено условие изолированности.
Рис.7. Формы вращающихся тел. Указаны последовательности фигур равновесия несжимаемых, «жидких» тел (сплошные линии) и сжимаемых, газовых тел (пунктир). Оси вращения у всех фигур на рисунке расположены вертикально.
Небесные тела лунных и более размеров резко неоднородны: плотность в центре существенно превышает плотность у поверхности. Для Земли — на порядок, для Юпитера — на 4-5
f= R[f0+f1+f2 +…] (8)
Тут требуются пояснения. Форму поверхности вращения естественно задавать уравнением r=f, связывающим широту с расстоянием от поверхности до центра масс r функциональной зависимостью f. Таков смысл левой части (8). В правой части R — характерный размер тела, например, радиус равновеликого шара. Тогда f0 тождественно равна единице, так что в нулевом приближении тело является шаром r=R — const. Остальные члены ряда дают малые поправки, причем fs пропорциональна qs. Здесь q=2R3/(GM) представляет собой безразмерный малый параметр, равный отношению центробежной силы к силе тяготения на экваторе шара массы М и радиуса R. Для Земли, Юпитера, Солнца q равно соответственно 0,0034; 0,083; 0,00002. Наибольшим значением q=0,139 в Солнечной системе обладает Сатурн.
Функция f1 имеет вид f1= Aq(1—3sin2), где число А определяется распределением масс внутри тела Т. Для однородного тела А=5/12. Для противоположного крайнего случая сосредоточенной в центре массы, окруженной невесомой атмосферой, А=1/6. Остальные fs можно найти последовательно методом Ляпунова.
Функция f, представляющая поверхность сжатого эллипсоида вращения Е, также может быть разложена в ряд (8), причем f0=1. f1=е2(1—3sin2)/6, где е — эксцентриситет меридионального сечения. Подбирая его так, чтобы Aq=е2/6, добьемся совпадения Rf0 и Rf1 у Т и Е. Таким образом, любая фигура равновесия в нулевом приближении — шар, в первом — сжатый эллипсоид вращения.
Движение ИСЗ
Как рассчитывают трассы небесных тел в сложных гравитационных полях? Простых формул, подобных выведенным Кеплером и Ньютоном для описания движения частицы вокруг шара, для сложных полей не существует. Более того, за редчайшими исключениями вообще не существует абсолютно точных формул. Это следствие реальной сложности движений. Какими же средствами располагает современная наука? В самых общих чертах их можно разделить на две группы.
1. Аналитические методы. С их помощью сложное движение можно представить как наложение бесконечного числа простых движений. До предела упрощенный пример — знакомая по школьным учебникам формула суммы бесконечного числа членов геометрической прогрессии
1/x=1+(1-x)+(1-x)2+(1-x)3+… (9)
Предположим, что марсиане умеют складывать, вычитать и умножать числа, представленные десятичными дробями, и знают, что есть и обратное умножению действие — деление, но делить не научились. Так вот, левую часть (9) марсиане смогут вычислить, складывая большое количество чисел из правой части, а каждое из них получается умножением (1—х) самого на себя. Уже на этом простейшем примере видны две особенности аналитического подхода.
Во-первых, для получения точного ответа нужно проделать бесконечно много операций, что невозможно. Но для достижения заданной точности нужно произвести уже конечное число операций. Последнее тем больше, чем выше требования к точности. Пусть, например, х=1,1. Чтобы ошибка (9) составила не больше 0,01, следует взять два слагаемых справа; четыре слагаемых гарантируют погрешность менее 0,0001.
Во-вторых, формулы аналитического метода работают не для одного какого-то набора значений переменных величин, а для любых их значений из некоторой области. Так, равенство (9) можно применять не только при х=1,1, а для всех значений х от нуля до двух. Но для х=—1,5 формула (9) не годится и приходится прибегать к другим соотношениям. Напимер, для —2<х<0 можно применить формулу 1/х=—[1+(1+х)+(1+х)2+(1+х)3+…]. В небесной механике орбиты разного типа также описываются разным набором аналитических формул.