Теоретическая механика в приложении к астрономии

Митькин Александр

Эта аксиома устанавливает два обстоятельства: первое – две силы F₁ и F₂ (рис. 1.4), приложенные к одной точке, имеют равнодействующую, т.е. эквивалентны одной силе

второе – аксиома полностью определяет модуль, точку приложения и направление равнодействующей силы

Другими словами, равнодействующую R можно построить как диагональ параллелограмма со сторонами, совпадающими с F₁

и F₂.

Модуль равнодействующей определится равенством

где – угол между данными векторами F₁ и F₂.

Отметим, что третья аксиома применима к любым, не обязательно абсолютно твёрдым телам.

Вторая и третья аксиомы статики дают возможность переходить от одной системы сил к другой системе, ей эквивалентной. В частности, они позволяют разложить любую силу R на две, три и т.д. составляющие, т.е. перейти к другой системе сил, для которой сила R является равнодействующей. Задавая, например, два направления, которые лежат с R в одной плоскости, можно построить параллелограмм, у которого диагональ изображает силу R. Тогда силы, направленные по сторонам параллелограмма, составляют систему, для которой сила R будет равнодействующей (рис. 1.4). Аналогичное построение можно провести и в пространстве. Для этого достаточно из точки приложения силы R провести три прямые, не лежащие в одной плоскости, и построить на них параллелепипед с диагональю, изображающей силу R, и с рёбрами, направленными по этим прямым (рис. 1.5).

Аксиома 4 (3-ий закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Заметим, что силы взаимодействия двух тел не составляют систему уравновешенных сил, так как они приложены к разным телам.

Если тело I действует на тело II с силой P, а тело II действует на тело I с силой F (рис. 1.6), то эти силы равны по модулю (F=P) и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т.е. F=-P.

Если обозначить через F силу, с которой Солнце притягивает Землю, то Земля притягивает Солнце с такой же по модулю, но противоположно направленной силой – F.

неподвижная плоскость действует на тело. На основании четвёртой аксиомы тело действует на плоскость с такой же силой, но её направление будет противоположно силе T. На рис. 1.7 показано тело, движущееся вправо; сила трения T приложена к движущемуся телу, а сила T^'=-T – к плоскости.

причём эти силы взаимодействия определяются заданными силами F₁ и F₂.

Для нахождения сил взаимодействия необходимо исходить

из аксиомы 1. Вследствие покоя тела A (рис. 1.8, б) должно быть

а значит, .

Точно так же из условия равновесия тела B (рис. 1.8, в) следует

т.е.

Аксиома 5. Равновесие деформированного тела не нарушится, если жёстко связать его точки и считать тело абсолютно твёрдым.

Этой аксиомой (её называют иногда принципом отвердевания) пользуются в тех случаях, когда речь идёт о равновесии тел, которые нельзя считать твёрдыми. Приложенные к таким телам внешние силы должны удовлетворять условиям равновесия твёрдого тела, однако для нетвёрдых тел эти условия являются лишь необходимыми, но не достаточными. Проиллюстрируем это положение простым примером. Выше было показано, что для равновесия абсолютно твёрдого невесомого стержня необходимо и достаточно, чтобы приложенные к концам стержня силы F и F' действовали по прямой, соединяющей его концы, были равны по модулю и направлены в разные стороны. Эти же условия необходимы и для равновесия отрезка невесомой нити, но для нити они недостаточны – необходимо дополнительно потребовать, чтобы силы, действующие на нить, были растягивающими (рис 1.9, б), в то время как для стержня они могут быть и сжимающими (рис. 1.9, а).

В заключение этого параграфа рассмотрим случай эквивалентности нулю трёх непараллельных сил, приложенных к твёрдому телу (рис. 1.10).

Теорема о трёх непараллельных силах. Если под действием трёх сил тело находится в равновесии и линии действия двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости, и их линии действия пересекаются в одной точке.

Пусть на тело действует система трёх сил F₁, F₂ и F₃, причём линии действия сил F₁ и F₂ пересекаются в точке A (рис. 1.10, а). Согласно следствию из аксиомы 2 силы F₁ и F₂ можно перенести в точку A (рис. 1.10, б), а по аксиоме 3 их можно заменить одной силой R (рис. 1.10, в), причём

Таким образом, рассматриваемая система сил приведена к двум силам R и F₃ (рис. 1.10, в). По условиям теоремы тело находится в равновесии, следовательно, по аксиоме 1 силы R и F₃ должны общую линию действия, но тогда линии действия всех трёх сил должны пересекаться в одной точке.