Теория пределов и нейросети. Практикум
Шрифт:
[ f(x) = \frac{1}{2x} ]
Теперь вычисляем предел ( f(x) ) при ( x \to 5 ):
[ \lim_{{x \to 5}} \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10} ]
Итак, предел функции ( f(x) = \frac{\sqrt{1 + 3x} – \sqrt{2x + 6}}{x^2 – 5x} ) при ( x ) стремящемся к ( 5 ) равен ( \boxed{\frac{1}{10}} ).Ответ: 1/10.
10. Найти предел функции f(x) = (7^x – 3^x)/x при x стремящемся к 0.
GPTutor
Чтобы найти предел
Прежде чем вычислять, заметим, что подстановка ( x = 0 ) напрямую в функцию даст неопределённость ( \frac{0}{0} ), поэтому используем разложение в ряд Тейлора для функций ( 7^x ) и ( 3^x ) в окрестности точки ( x = 0 ):
[ 7^x \approx 1 + \ln(7) \cdot x ]
[ 3^x \approx 1 + \ln(3) \cdot x ]
Теперь выразим ( f(x) ) с использованием этих разложений:
[ f(x) = \frac{7^x – 3^x}{x} \approx \frac{(1 + \ln(7)x) – (1 + \ln(3)x)}{x} ]
[ f(x) = \frac{\ln(7)x – \ln(3)x}{x} ]
[ f(x) = \ln(7) – \ln(3) ]
Таким образом, предел функции ( f(x) = \frac{7^x – 3^x}{x} ) при ( x ) стремящемся к ( 0 ) равен ( \boxed{\ln\left(\frac{7}{3}\right)} ).Ответ:ln7 – ln3.
Более детальные комментарии к данным решениям, на мой взгляд, не нужны.
Попробуйте самостоятельно найти пределы следующих функции:
1) f(n) = (1 – 2n)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ: – 2/3.
2) f(n) = (n^2 + 1)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ:1.
3) f(x) = 2x/(x^2 – 4) – 1/(x – 2) при x стремящейся к 2. Правильный ответ:1/4.
Решение будет приведено в следующей главе.
Глава 2
Выполнение заданий из главы 1.
1) f(n) = (1 – 2n)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ: – 2/3.
2) f(n) = (n^2 + 1)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ:1.
3) f(x) = 2x/(x^2 – 4) – 1/(x – 2) при x стремящейся к 2. Правильный ответ:1/4.
Посмотрим, как с ними справится нейросеть GPTutor
1)f(n) = (1 – 2n)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности.
GPTutor
Функция ( f(n) = \frac{1 – 2n}{3n – 2} ) при ( n ) стремящемся к бесконечности можно проанализировать с помощью предела:
[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{1 – 2n}{3n – 2} ]
Чтобы найти предел этой функции при ( n ) стремящемся к бесконечности, можно использовать правило Лопиталя (если оно применимо), либо анализировать асимптотическое поведение числителя и знаменателя.
Давайте разберемся:
Числитель функции ( 1 – 2n ) при больших значениях ( n ) будет уменьшаться до отрицательного бесконечно малого, так как коэффициент при ( n ) больше знаменателя ( 3n – 2 ), который будет расти до положительного бесконечно малого, что говорит о
Автор
А где решение?
GPTutor
Извините за недоразумение! Давайте найдем предел функции ( f(n) = \frac{1 – 2n}{3n – 2} ) при ( n \to \infty ).
Как я упоминал ранее, числитель ( 1 – 2n ) будет уменьшаться до отрицательного бесконечно малого, а знаменатель ( 3n – 2 ) будет расти до положительного бесконечно большого при увеличении ( n ).
Чтобы найти предел, разделим числитель и знаменатель на ( n ):
[ f(n) = \frac{1 – 2n}{3n – 2} = \frac{\frac{1}{n} – 2}{3 – \frac{2}{n}} ]
Теперь рассмотрим предел при ( n \to \infty ):
[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\frac{1}{n} – 2}{3 – \frac{2}{n}} ]
Здесь можно заметить, что ( \frac{1}{n} \to 0 ) и ( \frac{2}{n} \to 0 ) при ( n \to \infty ).
Тогда предел выражения равен:
[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \frac{0 – 2}{3 – 0} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3} ]
Таким образом, предел функции ( f(n) ) при ( n \to \infty ) равен ( -\frac{2}{3} ).
Ответ: – 2/3.
Если у вас есть ещё вопросы или нужно что-то ещё разъяснить, пожалуйста, скажите!
2) f(n) = (n^2 + 1)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности.
GPTutor
Функция ( f(n) = \frac{n^2 + 1}{3n – 2} ) при ( n ) стремящемся к бесконечности можно проанализировать аналогично предыдущему случаю:
[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2 + 1}{3n – 2} ]
Чтобы найти предел этой функции при ( n ) стремящемся к бесконечности, снова можно воспользоваться правилом Лопиталя или анализировать асимптотическое поведение числителя и знаменателя.
Разделим числитель и знаменатель на ( n ):
[ f(n) = \frac{n^2 + 1}{3n – 2} = \frac{n^2/n + 1/n}{3 – 2/n} = \frac{n + \frac{1}{n}}{3 – \frac{2}{n}} ]
Теперь рассмотрим предел при ( n \to \infty ):
[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{n + \frac{1}{n}}{3 – \frac{2}{n}} ]
При ( n \to \infty ), ( \frac{1}{n} \to 0 ) и ( \frac{2}{n} \to 0 ). Тогда предел выражения равен:
[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \frac{\infty + 0}{3 – 0} = \infty ]
Таким образом, предел функции ( f(n) ) при ( n \to \infty ) равен бесконечности.