Теория струн и скрытые измерения вселенной
Шрифт:
Попав в Калифорнию в двадцать лет и видя все многообразие математических дисциплин, открывающееся передо мной, я плохо представлял, в каком направлении мне двигаться. Сначала я склонился к операторной алгебре, одной из наиболее абстрактных областей математики, поскольку у меня было смутное чувство, что качество теории определяется степенью ее абстрактности.
Хотя в Беркли процветало множество математических дисциплин, в то время он был прежде всего одним из мировых центров — если не единственным мировым центром — развития геометрии, и присутствие в нем многих блестящих ученых, таких как Черн, начало оказывать на меня неумолимое влияние. Все это вместе с растущим пониманием того, что геометрия представляет собой огромную и богатую область, изобилующую многими возможностями, постепенно привело меня в их сообщество.
При
Так почему же из всех областей математики именно геометрия заняла центральное место в моих мыслях и мечтах? Прежде всего потому, что она произвела на меня впечатление математической дисциплины, находящейся ближе всего к природе и, следовательно, ближе всего к ответам на те вопросы, которые заботили меня более всего.
Кроме того, я нахожу полезным, сталкиваясь со сложными понятиями, представлять себе их наглядные изображения, что весьма редко удается сделать во многих трудных для понимания областях алгебры и теории чисел. Плюс ко всему, геометрией в Беркли занималась совершенно потрясающая группа людей, в числе которых были профессора Черн и Чарльз Морри и некоторые из более молодых представителей факультета, такие как Блейн Лоусон, а также аспиранты, такие как будущий обладатель медали Филдса Уильям Тёрстон, зародившие во мне желание приобщиться к их азарту и надежду стать одним из них.
Наконец, существовало и гораздо большее сообщество людей, не только из других университетских кампусов, но и со всего мира, и — как мы уже успели убедиться в этой главе, живших на протяжении всей человеческой истории, — которые прокладывали путь в ту плодородную область, в которую мне посчастливилось войти. Это что-то сродни ньютоновской сентенции о том, что ему посчастливилось «стоять на плечах гигантов», хотя Ньютон и сам по себе был одним из таких гигантов, на плечах которого мы сейчас стоим.
Примерно в то же время, когда я впервые начал размышлять об общей теории относительности Эйнштейна и кривизне абсолютно пустого пространства, мой руководитель Черн вернулся из поездки на восточное побережье весьма взбудораженным, поскольку он только что услышал от известного принстонского математика Андре Вейля о том, что так называемая гипотеза Римана, проблема, сформулированная еще столетие назад, возможно, скоро будет решена. Эта гипотеза относится к вопросу о распределении простых чисел, которое, как казалось до этого, не подчиняется никакому закону. Однако Риман предположил, что на самом деле частота появления простых чисел описывается сложной функцией, так называемой дзета-функцией Римана. В частности, он высказал предположение, что частота появлений простых чисел соответствует расположению нулей соответствующей дзета-функции. Утверждение Римана подтверждено для более чем миллиарда нулей дзета-функции, но строгого доказательства до сих пор так и не было получено.
Впрочем, несмотря на то, что эта проблема является одной из важнейших в математике — и если бы мне посчастливилось ее решить, это не только принесло бы мне бесчисленные предложения работы, но и прославило бы мое имя на всю оставшуюся жизнь, — я совсем не испытывал особого энтузиазма от предложения Черна. Гипотеза Римана не волновала меня, а для того чтобы решить столь грандиозную задачу, поставившую в тупик так много талантливых ученых и требующую многих лет на ее завершение, необходимо по крайней мере быть ею взволнованным. Отсутствие у меня страсти к решению проблемы, естественно, заметно уменьшало мои шансы на ее решение, поэтому если бы я работал над доказательством гипотезы Римана, то вполне возможно, что и спустя много лет мне нечего было бы сказать по этому вопросу. Помимо этого, мне слишком нравятся наглядные изображения. Мне нравятся математические структуры, на которые можно каким-либо образом взглянуть, именно за это я и люблю геометрию. Да и вдобавок мне уже были известны некоторые области геометрии, в которых я мог достигнуть определенных результатов — хотя, возможно, и не столь впечатляющих.
Это чем-то похоже на рыбалку. Если тебе достаточно и маленькой рыбки, ты получишь удовольствие, если поймаешь хоть что-то. А вот если ты собираешься поймать самую большую из рыб, которую когда-либо ловили, — эдакое мифическое создание, существующее только в легендах, — то, скорее всего, придешь домой с пустыми руками. Уже прошло тридцать пять лет, а гипотеза Римана по-прежнему остается недоказанной. Как говорят математики: то, что доказано на 90 процентов, — на самом деле не доказано.
Так я рассуждал, отвергая предложение Черна. Но на самом деле все было гораздо серьезнее. В то время, как я уже говорил, я был полностью поглощен общей теорией относительности, пытаясь понять, какие из особенностей нашей Вселенной возникают вследствие взаимодействия гравитации, искривления пространства и геометрии. Я не знал, когда мои мысли повернулись в этом направлении, однако я предчувствовал, что нахожусь в начале великого похода, собирая воедино все силы геометрии, чтобы двинуться в сторону истины.
Будучи ребенком, появившимся на свет в более чем стесненных обстоятельствах, я никогда не имел возможности увидеть большую часть мира. Моя страсть к геометрии родилась у меня еще в раннем возрасте из желания нанести на карту страну, столь большую, как Китай, и путешествовать по морю, не имеющему конца. Мне посчастливилось совершить куда более дальнее путешествие — эту возможность мне предоставила геометрия. Только теперь вместо одной страны передо мной была вся Земля, а вместо моря — Вселенная. Ну а маленькую соломенную сумку, которую я собирался всюду возить за собой, заменил небольшой портфель с линейкой, циркулем и транспортиром.
Третья глава
Новая разновидность молотка
Геометрия, несмотря на весьма насыщенную историю и впечатляющие достижения, которыми она может похвастаться на сегодняшний день, не является завершенным произведением, она по-прежнему развивается, постоянно открывая заново саму себя. Одним из последних нововведений в геометрии, внесшим определенный вклад в теорию струн, стало создание геометрического анализа — подхода, который ярко проявил себя только в последние десятилетия. Основной идеей этого подхода является использование мощных методов математического анализа (частью которого является дифференциальное исчисление) для интерпретации геометрических понятий и, напротив, использование геометрической интуиции для интерпретации понятий анализа. Едва ли это новшество станет последним в геометрии — как не стали последними в истории геометрии те нововведения, о которых мы уже говорили. Тем не менее геометрический анализ уже достиг весьма значительных успехов.
К работе в этой области я приступил в 1969 году, учась на первом курсе аспирантуры в Беркли. Для меня лично все началось с необходимости найти книгу для чтения во время рождественских каникул. Не проявив интереса к четырем наиболее продаваемым книгам того года — «Случай портного», «Крестный отец», «Машина любви» и «Штамм “Андромеда”», я остановился на книге, название которой было куда менее популярным — «Теория Морса» американского математика Джона Милнора. Меня особенно заинтересовала глава этой книги, посвященная топологии и кривизне, в которой разбиралось утверждение, что локальная кривизна заметно влияет на геометрию и топологию. С тех пор я постоянно возвращаюсь к этому утверждению, поскольку локальная кривизна поверхности определяется путем взятия производных по этой поверхности. Иными словами, определение кривизны требует использования методов анализа. Исследование влияния кривизны на геометрию, таким образом, составляет самую сущность геометрического анализа.