Теория струн и скрытые измерения вселенной
Шрифт:
Фундаментальные законы физики являются локальными в том смысле, что они всегда описывают поведение той или иной физической величины не во всем пространстве, а в отдельных, локальных, областях. Это справедливо даже для общей теории относительности, стремящейся описать кривизну всего пространственно-временного континуума в целом. В конце концов, и производные, фигурирующие в дифференциальных уравнениях, тоже берутся именно в отдельных точках. Все это создает проблему для физиков. Как сказал математик UCLA Роберт Грин: «Итак, исходя из локальной информации, такой как кривизна, необходимо узнать строение объекта как целого. Вопрос состоит в том, как
Рассмотрим для начала кривизну поверхности Земли. Поскольку провести измерения всего земного шара сразу крайне сложно, Грин предложил рассмотреть вместо этого следующую картину. Представим себе собаку, сидящую на прикрепленной к столбу цепи во дворе. Если у собаки есть возможность перемещаться хотя бы в небольших пределах, она сможет узнать, какую кривизну имеет тот участок земли, который ограничен длиной цепи. В данном случае предполагается, что эта кривизна положительна. Представим теперь, что в каждом дворе мира живет подобная собака, привязанная к столбу, и каждый из участков земли вокруг этих столбов имеет положительную кривизну. Сведя воедино все эти данные о локальной кривизне, можно сделать вывод, что топологически данная планета должна иметь сферическую форму.
Рис. 3.2. Графики, иллюстрирующие движение объекта вдоль определенной траектории. Скорость — величина, показывающая, насколько быстро положение объекта изменяется с течением времени, может быть получена путем взятия производной по кривой перемещения. Производная определяется наклоном кривой в данной точке и численно равна скорости в соответствующий момент времени. Ускорение, величина которого показывает, как изменяется скорость с течением времени, можно, в свою очередь, получить, взяв производную по кривой зависимости скорости от времени. Значение ускорения в определенный момент времени определяется наклоном кривой в соответствующей точке
Конечно, существуют и более строгие методы определения кривизны участка поверхности, не основанные на субъективных ощущениях привязанной на нем собаки. К примеру, если цепь имеет длину r и собака движется вокруг столба так, что ее цепь все время натянута, то в случае плоского пространства (плоской Земли) длина описываемой собакой окружности будет равна точно 2r. На поверхности сферы, обладающей положительной кривизной, длина окружности будет несколько меньше, чем 2r, из-за того что сферическая поверхность как бы «наклоняется вниз» при движении в любом из возможных направлений; в том же случае, когда столб находится на горном перевале или в седловой точке, обладающей отрицательной кривизной, имеющей наклон вниз в одних направлениях и наклон вверх в других, длина окружности будет несколько больше, чем 2r. Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы определить кривизну каждого конкретного участка, измерив расстояния, проходимые по кругу каждой из собак, — и затем свести эти результаты воедино.
Именно этим и занимается дифференциальная геометрия. Кривизна в дифференциальной геометрии определяется локально, то есть в отдельных точках, однако полученная таким образом информация применяется для того, чтобы сделать выводы о пространстве в целом. «Кривизна управляет топологией» — наш основной девиз. А нашим основным инструментом являются дифференциальные уравнения.
Геометрический анализ — сравнительно новая область математики, к обсуждению которой мы сейчас приступим, — развивает эту идею дальше. Следует отметить, что общий подход, предусматривающий использование дифференциальных уравнений в геометрии, развивался в течение нескольких столетий, зародившись практически одновременно с дифференциальным исчислением. Одним из первых исследователей в этой области стал великий швейцарский математик XVIII столетия Леонард Эйлер. Помимо всего прочего, он первым применил дифференциальные уравнения в частных производных для систематического исследования трехмерных поверхностей. Через два с лишним столетия после Эйлера мы продолжаем идти по его стопам. По сути, Эйлер был одним из первых, кто обратил внимание на нелинейные уравнения, лежащие сегодня в основе геометрического анализа.
Нелинейные уравнения, как правило, весьма сложны для решения, отчасти потому, что описываемые ими модели носят более запутанный характер. Так, нелинейные системы по своей природе менее предсказуемы, чем линейные, — хорошим примером здесь может служить погода — даже небольшие изменения в начальных условиях могут привести к совершенно другим результатам. Возможно, наиболее известной формулировкой того же утверждения является так называемый эффект бабочки в теории хаоса, парадоксальным образом предсказывающий возможность того, что взмах крыла бабочки в одной части мира может стать причиной возникновения торнадо в другой.
Линейные системы, напротив, содержат в себе гораздо меньше подводных камней и, следовательно, гораздо более просты для понимания.
Линейные зависимости — это зависимости типа y = 2x, названные так, поскольку их графиками являются прямые линии. Каждому значению аргумента здесь соответствует единственное значение функции. Двоение x автоматически приведет к удвоению y и наоборот. Изменение одной переменной всегда пропорционально изменению другой; невозможно получить огромный скачок в значении одной из переменных, лишь слегка изменив другую. Если бы законы природы описывались исключительно линейными зависимостями, наш мир был бы намного проще для понимания — хотя и значительно менее интересным. Но это не так — и именно поэтому приходится иметь дело с нелинейными уравнениями.
Впрочем, существуют некоторые методы, упрощающие работу с нелинейными уравнениями. К примеру, сталкиваясь с нелинейной задачей, можно прибегнуть к соответствующему линейному приближению и использовать его до тех пор, пока оно не перестанет быть применимым. Так, проанализировать волнистую (нелинейную) кривую можно путем нахождения производных соответствующей функции, что дает возможность представить кривую в виде совокупности касательных или, другими словами, линейных элементов (прямых линий) в любых необходимых нам точках кривой.
Аппроксимация нелинейного мира линейными зависимостями является для ученых обычной практикой, что, конечно, никоим образом не изменяет сам факт принципиальной нелинейности Вселенной. Для того чтобы получить возможность работать с нелинейными системами непосредственно, необходимо использовать математические приемы, лежащие на границе между геометрией и нелинейными дифференциальными уравнениями. Именно это было осуществлено в рамках геометрического анализа, математического подхода, оказавшегося весьма полезным как для теории струн, так и для всей современной математики в целом.
Я не хотел бы, чтобы у вас возникло впечатление, будто бы начало геометрического анализа было заложено только в первой половине 1970-х годов, когда я остановил свой выбор на этой области математики. Как я уже говорил, в математике никто не может заявить о том, что он начал что-либо с чистого листа. Так и идея геометрического анализа восходит еще к XIX столетию — а именно к работам французского математика Анри Пуанкаре, который, в свою очередь, основывался на трудах Римана и других его предшественников.