Теория струн и скрытые измерения Вселенной
Шрифт:
Таким образом мы разрешили важнейший вопрос геометрии, являвшийся предметом дискуссий на протяжении десятилетий. Впрочем, на этом история не закончилась. Для доказательства данной версии теоремы Плато мы с Миксом использовали некую лемму, называемую леммой Дена.
(Леммой в геометрии называется вспомогательное утверждение, доказанное исключительно с целью доказательства в дальнейшем более общего положения.) Долгое время считалось, что эта лемма была доказана в 1910 году немецким математиком Максом Деном, однако по прошествии десяти лет в его доказательстве была обнаружена ошибка. Ден утверждал, что для случая трехмерного пространства диск, имеющий особенность, то есть самопересечение под углом или крест-накрест, можно заменить на другой диск, не имеющий каких-либо особенностей и опирающийся на тот же контур. В случае своей истинности это утверждение было бы весьма полезно, поскольку
Окончательное доказательство леммы Дена было найдено в 1956 году греческим математиком Христосом Папакирьякопулосом. Это событие было запечатлено в шуточном стишке Джона Мильнора:
Вероломнейшая лемма Дена
Пред топологом ставила стену.
Но явился Христос
Папакирьякопулос,
Доказав эту лемму мгновенно.
Мы с Миксом применили основанный на топологии подход Папакирьякопулоса к геометрической проблеме, затронутой в работах Плато. Затем мы пошли в обратном направлении и при помощи геометрии доказали более строгие варианты (по сравнению с теми, которые можно было получить исходя исключительно из топологии) как леммы Дена, так и относящейся к ней теоремы о петле. Прежде всего, мы показали возможность существования диска с наименьшей площадью во вложенном (и, следовательно, несамопересекающемся) пространстве. Однако в этом частном случае (называемом эквивариантным)необходимо было рассматривать не один диск, а множество симметричных пар – нечто подобное многочисленным отражениям в кривом зеркале. Случай, рассмотренный нами, предполагал конечное, хотя и произвольно большое число зеркальных отражений – или симметричных пар. Мы доказали, что диск минимальной площади ни при каких условиях не пересекается ни с самим собой, ни с дисками из его группы симметрии. Можно сказать, что диски, принадлежащие одной группе, «параллельны» друг другу за одним только исключением: в тех случаях, когда диски все же пересекаются, они должны полностью совпадать.
Данная задача важна и сама по себе, однако еще большую важность она приобретает в связи со знаменитой топологической задачей, сформулированной в 1930 году и известной как гипотеза Смита. Эта гипотеза основана на размышлениях американского тополога Пола Смита о возможности вращения обычного трехмерного пространства вокруг бесконечно длинной вертикальной оси. Смиту было известно, что в том случае, когда ось является прямой линией, осуществить вращение вокруг нее трехмерного пространства довольно просто. Его гипотеза состояла в том, что подобное вращение становится невозможным при наличии на оси хотя бы одного узла.
Вас, конечно, может удивить, что кого-то заинтересовал подобный вопрос, но это именно тот тип задач, которыми и занимаются топологи и геометры. Как заметил Кэмерон Гордон из Техасского университета по этому поводу: «Наша интуиция подсказывает нам, что это утверждение самоочевидно, поскольку возможно ли представить вращение пространства вокруг завязанной в узел линии?» Наше с Миксом доказательство леммы Дена и теоремы о петле стали двумя последними фрагментами, необходимыми для того, чтобы подтвердить гипотезу Смита. Окончательное подтверждение его гипотезы было получено путем объединения наших результатов с результатами Уильяма Тёрстона и Хаймана Басса. Упоминавшийся ранее Кэмерон Гордон свел воедино разрозненные фрагменты и получил безупречное доказательство, подтвердившее предположение Смита о невозможности вращения трехмерного пространства вокруг завязанной в узел оси. При этом, правда, оказалось, что – как бы смешно это ни прозвучало – это утверждение неверно для пространств более высокой размерности, и для них подобные вращения все-таки возможны.[29]
Это доказательство представляет собой прекрасный пример совместной работы геометров и топологов над проблемой, которая потребовала бы от них много больше времени в том случае, если бы они пытались решить ее поодиночке. Кроме того, работая над упомянутой задачей, я впервые осознал, что рассуждения о минимальных поверхностях применимы к вопросам топологии. Наконец, доказательство гипотезы Смита подтвердило идею о возможности использования геометрии для решения проблем в области топологии и физики. Впрочем, пока мы говорили только о топологии и практически не затрагивали физику, оставив открытым вопрос о возможном использовании в ней геометрического анализа.
На международной конференции по геометрии, проходившей в Стэнфорде в 1973 году, мое внимание
На Стэнфордской конференции Герох бросил вызов геометрам, призвав их заняться задачей, которую физики на тот момент собственными усилиями решить не могли. Его надежда на помощь основывалась не только на фундаментальной связи между геометрией и гравитацией, но также и на том факте, что утверждения о положительности плотности материи и о положительности средней кривизны в каждой точке пространства по сути эквивалентны.
Герох был крайне заинтересован в окончательном разрешении этого вопроса. «Трудно было поверить, что эта гипотеза может быть ошибочной, но не менее трудно было доказать ее истинность», – заметил он впоследствии. Нельзя полагаться на интуицию, когда речь идет о подобных вещах, поскольку, добавил он, «она далеко не всегда ведет нас в правильном направлении».[30]
Призыв Героха прочно засел у меня в голове, и через несколько лет после этого, занимаясь совершенно иным вопросом, мы с моим бывшим аспирантом Ричардом Шоном (теперь стэнфордским профессором) обратили внимание на то, что некоторые из разработанных нами в последнее время методов геометрического анализа могут быть использованы для доказательства гипотезы о положительности массы. Тогда, применив стратегию, обычную для решения крупных задач, мы попытались разбить задачу на небольшие фрагменты, с которыми можно было бы работать поодиночке. Перед тем как приступить к доказательству гипотезы в целом (которую для геометра тяжело даже осознать, не то что пытаться доказывать), мы сосредоточили наше внимание на нескольких частных случаях. Кроме того, мы не были до конца уверены, что эта гипотеза верна с чисто геометрической точки зрения, поскольку ее утверждения казались нам чересчур строгими.
В своих попытках мы были не одиноки. Так, Михаил Громов, известный геометр, работающий в Нью-Йоркском университете и в Институте высших научных исследований (Франция), поделился с нами своим мнением о том, что, согласно его геометрической интуиции, общий случай этой гипотезы ошибочен, с чем были согласны и многие из его коллег. С другой стороны, большинство физиков были твердо уверены в истинности гипотезы, что они постоянно демонстрировали, год за годом поднимая вопрос о ней на всевозможных научных конференциях. Все это побудило нас более пристально взглянуть на эту идею, чтобы понять, что мы сможем сделать в этой области.
Подход, который мы задействовали, был тесно связан с понятием о минимальных поверхностях. К доказательству гипотезы о положительности массы этот метод был применен впервые, поскольку никакой очевидной связи между этой задачей и минимальными поверхностями не существовало. Впрочем, Шон и я чувствовали, что мы выбрали правильный путь. В геометрии, как и в инженерии, для того чтобы решить задачу, необходимо прежде всего правильно подобрать инструменты для ее решения, хотя, после того как доказательство уже завершено, мы порой обнаруживаем и другие пути для его нахождения. Если бы локальная плотность материи оказалась положительной, как постулировалось в общей теории относительности, то геометрии пришлось бы считаться с этим фактом. Шон и я предположили, что именно минимальные поверхности являются наиболее подходящим инструментом для определения влияния локальной плотности материи на глобальную кривизну и топологию.