Теория струн и скрытые измерения Вселенной
Шрифт:
Мы были весьма удивлены, когда в ноябре 2002 года в Интернете появилась первая из трех статей под авторством санкт-петербургского математика Григория Перельмана, посвященная геометрическим применениям методов потока Риччи. Менее чем через год на том же сайте были выложены вторая и третья статьи. В этих статьях Перельман задался целью «прояснить некоторые детали программы Гамильтона» и «дать краткий набросок доказательства гипотезы геометризации».[41] Он, так же как и Гамильтон, использовал неравенства Ли-Яу для контроля над поведением сингулярностей, хотя и ввел их несколько иным образом, добавив помимо этого много собственных нововведений.
В определенном смысле статьи Перельмана появились буквально из ниоткуда. Никто не знал, что Перельман когда-либо занимался проблемами, связанными с потоком Риччи, поскольку он был известен благодаря своим успехам в совершенно
Сами по себе статьи были не менее поразительны – всего шестьдесят восемь страниц текста, – что привело к тому, что другим ученым пришлось потратить немало времени на то, чтобы понять их содержание и извлечь из них ключевые аргументы, кратко набросанные Перельманом. На сегодняшний день является общепризнанным, что программа исследований, начатая Гамильтоном и продолженная Перельманом, в конце концов привела к разрешению как давней гипотезы Пуанкаре, так и более свежей проблемы Тёрстона.
Если это единодушное признание действительно имеет под собой основу, то совместные успехи Гамильтона и Перельмана представляют собой важнейшее достижение геометрического анализа. Согласно моим расчетам, почти половина теорем, лемм и прочих вспомогательных утверждений, полученных в этой области на протяжении последних тридцати лет, были использованы в работах Гамильтона и Перельмана, что и привело в конце концов к доказательству гипотезы Пуанкаре.
Итак, вы увидели некоторые из тех гвоздей, которые по самые шляпки загнал в дерево молоток геометрического анализа. Однако вы, наверное, помните, что я обещал описать триважнейших достижения геометрического анализа. Успехи в области четырехмерной топологии и доказательство гипотезы Пуанкаре вместе с методами потока Риччи, понадобившимися для ее доказательства, представляют собой только два из них. Остается еще и третье достижение – то, в котором я принял непосредственное участие и о котором пойдет речь далее.
Четвертая главаСлишком хорошо, чтобы быть правдой
Третье важнейшее достижение, полученное при помощи нашего нового «молотка» – геометрического анализа, – относится к гипотезе, выдвинутой в 1953 году Эудженио Калаби, математиком, с 1964 года работающим в Пенсильванском университете. Эта гипотеза, как будет показано далее, стала ключевой в обсуждаемой области и оказала огромнейшее влияние на всю мою дальнейшую научную карьеру. Я считаю своей особенной удачей то, что мне довелось наткнуться на идеи Калаби, точнее, налететь на них лбом – тогда еще не было принято носить шлемы. Конечно, каждый математик, достаточно талантливый и подготовленный, с большой вероятностью внесет определенный вклад в исследуемую им область, однако чтобы найти задачу, специально предназначенную для твоего таланта и образа мыслей, необходимо иметь еще и особое везение. В математике мне везло не один раз, но столкновение с гипотезой Калаби в этом отношении для меня является удачей из удач.
Задача имеет форму теоремы, связывающей топологию комплексных пространств, о которых мы поговорим далее, с их геометрией, или кривизной. Основная идея состоит в следующем. Возьмем некое необработанное топологическое пространство, представляющее собой что-то вроде пустого участка земли, специально расчищенного для предстоящего строительства. Соорудим на нем некую геометрическую структуру, которую впоследствии можно еще и декорировать различными способами. Вопрос, который задал Калаби, хотя и содержит некоторые оригинальные идеи, тем не менее принадлежит к тому типу вопросов, которые очень часто ставятся геометрами, а именно: какие из строго определенных геометрических структур допустимы для заданной топологии или, грубо говоря, для заданной формы объекта?
Рис. 4.1.Геометр
Ответ на этот вопрос едва ли покажется кому-либо имеющим важное значение для физики. Но посмотрим на него с другой стороны. Гипотеза Калаби касается пространств, имеющих особый тип кривизны, известный как кривизна Риччи, которая вкратце будет описана позже. Как оказалось, кривизна Риччи определенного пространства напрямую зависит от распределения материи в этом пространстве. Пространство, называемое риччи-плоским– кривизна Риччи которого равна нулю, – представляет собой пространство, материя в котором отсутствует. Рассматривая поставленный Калаби вопрос с этой точки зрения, можно увидеть его непосредственную взаимосвязь с общей теорией относительности Эйнштейна: возможно ли существование гравитации во Вселенной, представляющей собой полностью лишенный материи вакуум? Если Калаби прав, то кривизна делает возможной гравитацию даже при отсутствии материи. Калаби сформулировал эту задачу в еще более общей форме, поскольку его гипотеза относилась к пространствам любой возможной размерности, а не только к четырехмерным, лежащим в основе общей теории относительности. Такая формулировка казалась мне наиболее правильной, так как она полностью согласовывалась с моим убеждением о том, что самые глубокие математические идеи в случае их истинности всегда находят применение в физике и должны проявлять себя в природе вообще.
Калаби утверждает, что, когда эта гипотеза впервые пришла ему в голову, «она совершенно не была связана с физическими представлениями. Это была чистая геометрия»[42]. Я не сомневаюсь в истинности его слов. Это утверждение могло бы быть точно так же сформулировано, даже если бы Эйнштейну никогда не приходила в голову идея общей теории относительности. И доказательство этой гипотезы могло бы быть получено, даже если бы теории Эйнштейна не существовало. Впрочем, я уверен, что в то время, когда Калаби сформулировал свою задачу – почти через сорок лет после публикации Эйнштейном его революционных статей, – теория Эйнштейна была уже широко распространена. Едва ли найдется хотя бы один математик, который никогда не размышлял над физическими идеями Эйнштейна, пусть даже без какой-либо определенной цели. К тому времени уравнения Эйнштейна прочно связали искривление пространства и гравитацию, глубоко пустив корни в математику. Можно сказать, что общая теория относительности стала частью коллективного сознания или, наоборот, «коллективного бессознательного», – как сказал бы Юнг.
Безотносительно к тому, сознательно или бессознательно Калаби затрагивал физические проблемы, связь между его гипотезой и вопросами гравитации стала для меня важнейшим побудительным фактором, чтобы приняться за эту работу. Я понял, что доказательство гипотезы Калаби может стать важным шагом на пути к раскрытию какой-то глубокой тайны.
Вопросы, подобные тому, который поставил Калаби, часто формулируют в терминах метрики или геометрии пространства – набора функций, который позволяет определить длину любой траектории в соответствующем пространстве, – с этим понятием мы впервые столкнулись в первой главе. Всякое топологическое пространство способно принимать множество различных форм и, следовательно, обладать множеством всевозможных метрик. Одно и то же топологическое пространство может иметь форму куба, сферы, пирамиды или тетраэдра – геометрических тел, эквивалентных с топологической точки зрения. Вопрос, который затрагивает гипотеза Калаби, относящийся к разновидностям метрики, допустимым в данном пространстве, может быть переформулирован следующим эквивалентным образом: какие из геометрических форм возможны для пространств данной топологии?
Конечно, Калаби не использовал в точности такие термины, когда выдвигал свою гипотезу. Его цель состояла в том, чтобы узнать, будет ли определенный вид комплексного многообразия, а именно пространство, являющееся компактным, то есть имеющим ограниченную протяженность, и «кэлеровым» – удовлетворяющим определенным топологическим условиям (имеющим определенную характеристику, известную как «обращение в нуль первого класса Черна»), – иметь риччи-плоскую метрику. Нужно признать, что все ключевые составляющие данной гипотезы весьма сложны для непосредственного восприятия, поэтому определение всех понятий, необходимых для понимания утверждения Калаби, таких как комплексные многообразия, геометрия и метрика Кэлера, первый класс Черна и кривизна Риччи, – потребует определенных усилий.