Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2., Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

Поток индукции через любое сечение такой трубки одинаков. Если поток индукции в трубке равен единице, она называется единичной трубкой индукции.

Всё, что Фарадей2 говорит о магнитных силовых линиях и магнитных «спондилоидах» (sphondiloids), математически верно, если под ними понимать линии и трубки магнитной индукции.

2 Exp. Res., series XXVIII.

Вне магнита магнитная сила и магнитная индукция совпадают, однако внутри вещества магнита их следует тщательно различать.

В случае прямого однородно намагниченного стержня магнитная сила, создаваемая

самим магнитом, направлена от конца, указывающего на север (мы называем его положительным полюсом), к южному концу (отрицательному полюсу) как внутри магнита, так и вне его.

С другой стороны, магнитная индукция вне магнита тоже направлена от положительного полюса к отрицательному, но внутри магнита - от отрицательного полюса к положительному, так что линии и трубки индукции образуют сами в себя входящие, или замкнутые, кривые.

Важность магнитной индукции как физического понятия будет видна более отчётливо при изучении электромагнитных явлений. Когда магнитное поле создаётся движущимся проводом, как в опытах Фарадея (Exp. Res. 3076), непосредственно измеряемой величиной является именно магнитная индукция, а не магнитная сила.

Вектор-потенциал магнитной индукции

405. Как показано в п. 403, поток магнитной индукции через поверхность, ограниченную замкнутой кривой, зависит от этой кривой, но не зависит от формы ограничиваемой ею поверхности; поэтому должен существовать способ определения потока индукции внутри замкнутой кривой с помощью процедуры, зависящей только от характера кривой и не включающей конструкцию поверхности, которая диафрагмирует эту кривую.

Это можно сделать, отыскав вектор A, связанный с магнитной индукцией B таким образом, чтобы линейный интеграл от A по замкнутой кривой был равен поверхностному интегралу от по поверхности, ограниченной этой кривой.

Обозначив, как и в п. 24, через F, G, H составляющие A, через a, b, c составляющие B, получим между ними следующую связь:

–

(21)

Вектор A с составляющими F, G, H называется вектор-потенциалом магнитной индукции.

Поместим в начало координат магнитную молекулу с моментом m и направлением оси намагниченности (,,). Согласно п. 387, её потенциал в точке (x,y,z), на расстоянии r от начала координат будет равен

– m

;

d^2

dxdz

d^2

dydz

d^2

dz^2

С помощью уравнения Лапласа последнему выражению можно придать вид

–

Аналогично можно преобразовать величины a, b.

Следовательно,

–

m(z-y)

r^3

Составляющие G, H можно получить из этого выражения, руководствуясь симметрией. Таким образом, вектор-потенциал в данной точке, создаваемый намагниченной частицей, помещённой в начало координат, численно равен магнитному моменту этой частицы, делённому на квадрат радиус-вектора и умноженному на синус угла между осью намагниченности и радиус-вектором; направление вектор-потенциала перпендикулярно плоскости оси намагниченности и радиус-вектора, причём если смотреть в положительном направлении оси намагниченности, то вектор-потенциал указывает в направлении движения часовой стрелки.

Следовательно, для магнита произвольной формы с составляющими намагниченности A, B, C в точке (x,y,z) составляющие вектор-потенциала в точке (,,) равны

–

(22)

где через p для краткости обозначено обратное расстояние между точками (,,) и (x,y,z), а интегрирование распространяется на весь объём, занятый магнитом.

406. Скалярный, или обычный, потенциал магнитной силы, введённый в п. 385, в этих обозначениях принимает вид

(23)

Помня, что

= -

и что интеграл

d^2p

dx^2

d^2p

dy^2

d^2p

dz^2

равен -4(A), когда точка (,,), находится внутри объёма интегрирования, и нулю, когда она вне его, где (A) - значение A в точке (,,), получаем для x-составляющей магнитной индукции