Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Отсюда вытекает следующая теорема:
284. В любой системе проводников, не содержащей внутренних электродвижущих сил, тепло, производимое токами, распределёнными по закону Ома, оказывается, меньше, чем если бы токи были распределены любым другим способом, совместным с реальными условиями втекания и вытекания тока.
Тепло, которое действительно производится в цепи при выполнении закона Ома, эквивалентно в механическом отношении величине PpQq сумме произведений количеств электричества, подводимых к разным внешним электродам, на потенциалы соответствующих электродов.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ VI
Изучаемые в п. 280 законы распределения токов могут быть выражены с по мощью следующих легко запоминаемых правил.
Пусть потенциал одной из точек, скажем точки An
Величины D и Dps могут быть определены с помощью следующих правил. Величина -D равна сумме произведений проводимостей, причём каждое произведение содержит (n-1) сомножитель и не принимаются во внимание такие произведения, которые содержат проводимости ветвей, образующих замкнутые контуры. Величина Dps равна сумме произведений, составленных каждое из (n-2) сомножителей, причём не учитываются такие произведения, которые содержат проводимости ветвей ApAn или AsAn, а также такие, в которые входят проводимости ветвей, образующих либо сами по себе, либо с помощью ветвей ApAn или AsAn замкнутые контуры.
Из уравнения (10) видно, что электродвижущая сила Eqr, действующая в разветвлении AqAr действует так же, как и источник тока величины KqrEqr, расположенный в точке R, и сток той же величины, расположенный в точке Q, так что предыдущее правило применимо и к этому случаю. Однако результат приложения этого правила можно сформулировать проще следующим образом. Если электродвижущая сила Epq действует вдоль проводника ApAq, то величина тока, возникающего при этом в другом проводнике ArAs, равна
K
rs
K
pq
D
E
pq
,
где D вычисляется по указанному выше правилу, а =1– 2.
Тогда 1 вычисляется следующим образом: составим из проводимостей всевозможные произведения, содержащие (n-2) сомножителей. Выберем из этих произведений такие, которые содержат как проводимость ветви ApAr (или произведение проводимостей тех ветвей, которые вместе с ApAr образуют замкнутый контур), так и проводимость ветви AqAs (или произведение проводимостей тех ветвей, которые вместе с AsAq образуют замкнутый контур). Из выбранных таким образом произведений отбросим те, которые содержат проводимости ветвей ArAs или ApAq, или же произведения проводимостей тех ветвей, которые образуют замкнутые контуры либо сами по себе, либо с помощью ArAs или ApAq. Сумма оставшихся членов даст выражение для 1. Величина 2 получается по тому же способу, только вместо ветвей ApAr и AsAq следует брать ветви ApAs и AqAr соответственно.
Если ток входит через точку P и выходит через точку Q, отношение этого тока к разности потенциалов между Ap и Aq, равно D/'.
Здесь ' представляет собой сумму произведений проводимостей, причём в каждое произведение входит (n-2) сомножителей, и отбрасываются все те произведения, которые содержат проводимость ветви ApAq или содержат произведения проводимостей тех ветвей, которые вместе с ветвью ApAq образуют замкнутый контур.
В этих выражениях опускаются все члены, которые содержат произведение проводимостей, если соответствующие ветви образуют замкнутый контур.
Мы можем пояснить эти правила, применив их к очень важному случаю 4 точек, соединённых 6 проводниками. Обозначим точки номерами 1, 2, 3, 4.
Тогда D равно сумме произведений проводимостей, причём каждое произведение состоит из трёх сомножителей, однако в сумму не включаются следующие 4 произведения: K12K23K31, K12K24K41, K13K34K41 и K23K34K42 поскольку они соответствуют четырём замкнутым контурам (123), (124), (134) и (234).
Таким образом,
D
=
(K
14
+K
24
+K
34
)
(K
12
K
13
+K
12
K
23
+K
13
K
24
)
+
K
14
K
24
(K
13
+K
23
)
+
K
14
K
34
(K
12
+K
23
)
+
+
K
34
K
24
(K
12
+K
13
)
+
K
14
K
24
K
34
.
Предположим, что электродвижущая сила E действует вдоль проводника (23), тогда ток в ветви (14) определяется соотношением
1– 2
D
E
K
14
K
23
,
где 1=K13K24 (по определению), 2=K12K43.
Таким образом, если по проводнику (14) не идёт ток, K13K24– K12K43=0; это равенство есть условие того, что проводники (23) и (14) являются сопряжёнными.
Ток через проводник (13) равен
K12(K14+K24+K34)+K14+K24
D
E
K
14
K
23
.
Проводимость всего соединения для случая, когда ток входит через точку (2) и выходит через точку (3), равна
D
(K14+K24+K34) (K12+K13) + K14(K24+K34)
.
<