Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Если соединение содержит 5 точек, то условие сопряжённости проводников (23) и (14) имеет вид
K
12
K
34
(K
15
+K
25
+K
35
+K
45
)
+
+
K
12
K
35
K
45
+
K
34
K
51
K
52
=
=
K
13
K
24
(K
15
+K
25
+K
35
+K
45
)
+
+
K
13
K
52
K
54
+
K
24
K
51
K
53
.
ГЛАВА VII
Запись электрических токов
285. Выберем в некоторой точке элемент площади dS, ориентированный перпендикулярно к оси x. Пусть через эту площадку от отрицательной её стороны к положительной проходит Q единиц электричества за единицу времени. Тогда, если отношение Q/dS при безграничном уменьшении dQ принимает предельное значение u, то эту величину u называют Составляющей электрического тока в направлении оси x в данной точке.
Точно так же мы можем определить v и w - составляющие электрического тока в направлениях соответственно y и z.
286. Для того чтобы определить составляющую тока, проходящего через точку O, в любом другом направлении OR, введём направляющие косинусы l, m, n отрезка OR. Тогда, если мы отсечём по осям x, y, z от начала координат, помещённого в точку O, отрезки, равные r/l, r/m, и r/n а концы отрезков обозначим соответственно A, B и C, то треугольник ABC будет перпендикулярен направлению OR [рис. 23].
Рис. 23
Площадь этого треугольника ABC равна
dS
=
1
2
r^2
lmn
,
и при уменьшении r эта площадь безгранично уменьшается.
Количество электричества, которое выходит из тетраэдра ABCO через треугольную грань ABC, должно быть равно тому количеству электричества, которое втекает через остальные грани OBC, OCA и OAB.
Площадь треугольника OBC равна r^2/(2mn), а составляющая тока, нормальная к плоскости этого треугольника, равна u, следовательно, количество электричества, входящее через этот треугольник
Количества электричества, которые входят через грани OCA и OAB за единицу времени, равны соответственно (r^2v)/(2nl) и (r^2w)/(2lm).
Если составляющую тока в направлении OR обозначить через , то количество электричества, выходящее за единицу времени из тетраэдра через грань ABC, равно (r^2)/(2lmn). Поскольку эта величина равна тому количеству электричества, которое входит через три остальные грани, мы получаем выражение
1
2
r^2
lmn
=
1
2
r^2
u
mn
+
v
nl
+
w
lm
.
Умножив его (2lmn)/r^2, получаем
=
lu
+
mv
+
nw
.
(1)
Если мы положим
u^2
+
v^2
+
w^2
=
^2
и введём три величины l', m' и n', такие, что
u
=
l'
,
v
=
m'
и
w
=
n'
, то
=
(ll'+mm'+nn')
.
(2)
Таким образом, если мы определим результирующий ток как вектор, величина которого равна , а направляющие косинусы равны l', m', n', и если обозначает проекцию тока на направление, составляющее с направлением результирующего тока угол , то
=
cos
.
(3)
Это показывает, что законы разложения тока являются такими же, как и законы разложения скоростей, сил и всех других векторов.
287. Выведем условие того, что некоторая данная поверхность является поверхностью тока. Пусть уравнение
F
(
x
,
y
,
z
)
=
(4)
определяет семейство поверхностей, любая из которых может быть получена заданием определённого значения постоянной Тогда, если положить
d
dx
^2
+
d
dy
^2
+
d
dz
^2
=
1
N^2
,
(5)
то направляющие косинусы нормали, отсчитываемой в направлении роста , равны
l
=
N
d
dx
,
m
=
N
d
dy
,
n
=