Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Для упрощения алгебраических расчётов выберем оси координат так, чтобы свести выражение (9), а следовательно, и выражение (10) к трём слагаемым. Рассмотрим теперь общее характеристическое уравнение (16), которое тогда сводится к виду
r
1
d^2V
dx^2
+
r
2
d^2V
dy^2
r
3
d^2V
dz^2
=
0.
(24)
Обозначим также через a, b, c три функции от x, y, z, удовлетворяющих
da
dx
+
db
dy
+
dc
dz
=
0,
(25)
и положим
a
=-
r
1
dV
dx
+
u
,
b
=-
r
2
dV
dy
+
v
,
c
=-
r
3
dV
dz
+
w
,
(26)
Наконец, пусть тройной интеграл
W
=
(
R
1
a^2
+
R
2
b^2
+
R
3
c^2
)
dx
dy
dz
(27)
распространён по объёму, ограниченному, как это было сделано в п. 100 а, а именно на некоторых участках границы величина V является постоянной или же задана нормальная составляющая вектора a, b, c, причём предыдущее условие сопровождается дополнительным ограничением, что интеграл от этой составляющей по граничной поверхности должен обращаться в нуль. Тогда интеграл W принимает минимальное значение, если u=0, v=0, w=0.
Действительно, в этом случае r1R1=1, r2R2=1, r3R3=1, и поэтому с учётом (26)
W
=
r
1
dV
dx
^2
+
r
2
dV
dy
^2
+
r
3
dV
dz
^2
dx
dy
dz
+
+
(
R
1
u^2
+
R
2
v^2
+
R
3
w^2
)
dx
dy
dz
–
– 2
u
dV
dx
+
v
dV
dy
+
w
dV
dz
dx
dy
dz
.
(28)
Но, поскольку
du
dx
+
dv
dy
+
dw
dz
=
0,
(29)
третье
Таким образом, первое слагаемое в сумме (28) представляет собой единственное минимальное значение величины W.
305. Поскольку это предположение очень важно для теории электричества, может оказаться полезным следующее доказательство самого общего случая в форме, свободной от аналитических операций.
Рассмотрим распространение электричества через проводник любой формы, однородный или неоднородный.
Тогда мы знаем, что:
(1) Если мы проведём линию вдоль пути и в направлении электрического тока, эта линия должна проходить от мест с высоким потенциалом к местам с низким потенциалом.
(2) Если потенциал в каждой точке системы изменится в заданном постоянном отношении, ток изменится в том же самом отношении в соответствии с Законом Ома.
(3) Если определённое распределение потенциала вызывает определённое распределение токов, а другое распределение потенциала вызывает другое распределение токов, то третье распределение, в котором потенциал есть сумма или разность потенциалов, отвечающих первому и второму распределениям, вызовет третье распределение токов, такое, что полный ток, проходящий через данную конечную поверхность, в третьем случае равен сумме или разности токов, проходящих через неё в первом и втором случаях. Ибо по Закону Ома добавочный ток, вызванный изменением потенциалов, не зависит от начального тока, вызванного начальным распределением потенциалов.
(4) Если потенциал имеет одно и то же значение на всей замкнутой поверхности и если внутри неё нет электродов или внутренних электродвижущих сил, то внутри замкнутой поверхности не будет токов и потенциал в любой точке внутри неё будет равен потенциалу на поверхности.
Если внутри замкнутой поверхности имеются токи, они либо должны образовывать замкнутые кривые, либо должны начинаться и оканчиваться внутри замкнутой поверхности или на самой поверхности.
Но поскольку ток должен проходить от мест с высоким к местам с низким потенциалом, он не может течь по замкнутой кривой.
Поскольку внутри поверхности нет электродов, ток не может начинаться или заканчиваться внутри замкнутой поверхности, а поскольку потенциал во всех точках поверхности один и тот же, не может существовать ток вдоль линий, проходящих от одной точки поверхности к другой.
Таким образом, внутри поверхности нет токов и поэтому не может быть разности потенциалов, потому что такая разность вызвала бы ток, и, следовательно, потенциал внутри замкнутой поверхности всюду такой же, как на поверхности.
(5) Если через любую часть замкнутой поверхности не проходит электрического тока и если внутри поверхности нет электродов или внутренних электродвижущих сил, то внутри поверхности не будет токов и потенциал будет однороден.
Мы убедились в том, что токи не могут образовывать замкнутых кривых, а также начинаться или заканчиваться внутри поверхности, и поскольку, по предположению, токи не проходят через поверхность, они не могут существовать и потенциал есть постоянная величина.
(6) Если потенциал не меняется на некоторой части замкнутой поверхности, а через остальную часть этой поверхности не текут токи, то потенциал внутри поверхности будет постоянным по тем же причинам.