Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
.
Таким образом, мы получаем
C^2
R'
=
4
'
P
,
(22)
откуда с учётом (20) и (21)
R'
=
8'
3^2a
,
и поправка, которую нужно добавить к длине цилиндра, равна
'
8
3
a
,
причём это значение поправки превышает
Лорд Рэлей 6 во втором приближении уменьшил верхний предел для n до 0,8282.
6Phil. Mag., Nov., 1872, р. 344. В дальнейшем лорд Рэлей получил для верхнего предела значение 0,8242. См. London Math. Soc. Proc., VII, p. 74; также Theory of Sound, vol. II, Appendix A, p. 291 (имеется перевод на русский язык: Рэлей «Теория звука». М.: ГИТТЛ, 1965. Т. II. С. 468.- Примеч. пёр.).
ГЛАВА IX
ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТИЧЕСТВА ЧЕРЕЗ НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ
Об условиях, которые должны выполняться на поверхности раздела между двумя проводящими средами
310. Имеются два условия, которым всегда должно удовлетворять распределение токов: условие, что потенциал должен быть непрерывен, и условие «непрерывности» электрических токов.
На поверхности раздела между двумя средами первое из этих условий требует, чтобы потенциалы в двух точках, расположенных по разные стороны поверхности, но бесконечно близко друг от друга, были равны. Подразумевается, что потенциалы должны измеряться электрометром, приведённым в соединение с данной точкой посредством электрода, который изготовлен из данного металла. Если потенциалы измеряются по методу, описанному в п. 222, 246, в котором конец электрода помещается внутри заполненной воздухом полости в проводнике, то измеренные таким путём потенциалы в прилегающих точках различных металлов будут отличаться на величину, зависящую от температуры и от природы этих двух металлов.
Другое условие на поверхности состоит в том, что ток через любой элемент поверхности имеет одно и то же значение при измерении в любой из сред.
Таким образом, если V1 и V2 обозначают потенциалы в двух средах, то в любой точке поверхности раздела
V
1
=
V
2
,
(1)
и если u1, v1, w1 и u2, v2, w2– составляющие токов в этих двух средах, а l, m, n - направляющие косинусы нормали к поверхности раздела, то
u
1
l
+
v
1
m
+
w
1
n
=
u
2
l
+
v
2
m
+
w
2
n
.
(2)
В самом общем случае составляющие u, v, w являются линейными функциями производных потенциала V; вид этих линейных функций определяется уравнениями
u
=
r
1
X
+
p
3
Y
+
q
2
Z
,
v
=
q
3
X
+
r
2
Y
+
p
1
Z
,
w
=
p
2
X
+
q
1
Y
+
r
3
Z
,
(3)
где X, Y, Z - производные функции V соответственно по x, y, z.
Возьмём случай поверхности, которая отделяет среду с такими коэффициентами проводимости от изотропной среды, имеющей коэффициент проводимости, равный r.
Обозначим значения X, Y, Z в изотропной среде через X', Y', Z' тогда на поверхности имеем
V
=
V'
,
(4)
или
Xdx
+
Ydy
+
Zdz
=
X'dx
+
Y'dy
+
Z'dz
,
(5)
если
ldx
+
mdy
+
ndz
=
0.
(6)
Это условие приводит к
X'
=
X
+
4l
,
Y'
=
Y
+
4m
,
Z'
=
Z
+
4n
,
(7)
где - поверхностная плотность.
В изотропной среде имеем также
u'
=
rX'
,
v'
=
rY'
,
w'
=
rZ'
,
(8)
и условие на границе для тока таково:
u'l
+
v'm
+
w'n
=
ul
+
vm
+
wn
,
(9)
или
r
(
lX
+
mY
+
nZ
+
4
)
=
l
(
r
1
X
+
p
3
Y
+
q
2
Z
)
+
+
m
(
q
3
X
+
r
2
Y
+
p
1
Z
)
+
n
(