Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
R^2(n^2-l^2-m^2)
,
p
xy
=
1
4
R^2lm
.
Если a, b, c, - составляющие силы, действующей на единицу площади элемента ds, то
a
=
lp
xx
+
mp
yx
+
mz
zx
=
1
8
R^2l
,
b
=
1
8
R^2m
,
c
=
1
8
R^2n
.
Таким
Пусть теперь элемент ds перпендикулярен пересекаемой им эквипотенциальной поверхности. В этом случае
l
d
dx
+
m
d
dy
+
n
d
dz
=
0.
(19)
Далее:
8
(
lp
xx
+
mp
yx
+
np
zx
)
=
l
d
dx
^2
–
d
dy
^2
–
d
dz
^2
+
+
2m
d
dx
d
dy
+
2n
d
dx
d
dz
.
(20)
Умножив (19) на 2(d/dx) и вычтя из (20), найдём
8
(
lp
xx
+
mp
yx
+
np
zx
)
=-
l
d
dx
^2
–
d
dy
^2
–
d
dz
^2
=
– lR^2
.
(21)
Таким образом, составляющие натяжения, действующего на единицу площади элемента ds равны
a
=-
1
8
R^2l
,
b
=-
1
8
R^2m
,
c
=-
1
8
R^2n
.
Таким образом, если элемент ds перпендикулярен эквипотенциальной поверхности, то действующая на него сила нормальна к поверхности, а численное значение силы, действующей на единицу площади, то же, что и в предыдущем случае, но направление её обратное - это не натяжение, а давление.
Итак, мы полностью определили характер напряжения в любой точке среды.
Направление электродвижущей напряжённости в точке является главной осью напряжения; напряжение в этом направлении носит характер натяжения, и его численное значение равно
p=R^2/8
,
(22)
где R - электродвижущая напряжённость.
Любое направление, перпендикулярное этому, также является главной осью напряжения; напряжение вдоль такой оси носит характер давления, численная величина которого также равна p.
Определённое так напряжение - не самого общего вида, так как для него два главных значения напряжения равны друг другу, а третье - равно им численно, но отличается знаком.
Эти условия уменьшают число независимых переменных, определяющих напряжение, с шести до трёх; поэтому оно полностью определяется составляющими электродвижущей напряжённости -(d/dx), -(d/dy), -(d/dz).
Три соотношения между шестью составляющими напряжения имеют вид
p^2
yz
=
(p
xx
+p
yy
)
(p
zz
+p
xx
)
,
p^2
zx
=
(p
yy
+p
zz
)
(p
xx
+p
yy
)
,
p^2
xy
=
(p
zz
+p
xx
)
(p
yy
+p
zz
)
.
(23)
107. Посмотрим теперь, нуждаются ли полученные нами результаты в изменении в случае, когда конечное количество электричества сосредоточено на конечной поверхности, так что объёмная плотность заряда бесконечна на поверхности .
Как было показано в п. 78а, 786, в этом случае составляющие электродвижущей напряжённости разрывны на поверхности. Следовательно, и составляющие напряжения тоже разрывны на поверхности.
Пусть l, m, n - направляющие косинусы нормали к ds; P, Q, R - составляющие электродвижущей напряжённости на той стороне, куда проведена нормаль, а P', Q', R' - её составляющие с другой стороны.
Тогда, согласно 78а и 786
P-P'
=
4l
,
Q-Q'