Трактат об электричестве и магнетизме, Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

R^2(n^2-l^2-m^2)

R^2lm

Если a, b, c, - составляющие силы, действующей на единицу площади элемента ds, то

R^2l

R^2m

R^2n

Таким

образом, сила, с которой часть среды, расположенная по внешнюю сторону ds, действует на часть среды, находящуюся по внутреннюю сторону ds, нормальна к элементу площади ds и направлена наружу, т. е. является натяжением, подобным натяжению верёвки, и величина этой силы, приходящейся на единицу площади, равна R^2/8,

Пусть теперь элемент ds перпендикулярен пересекаемой им эквипотенциальной поверхности. В этом случае

(19)

(

)

–

(20)

Умножив (19) на 2(d/dx) и вычтя из (20), найдём

(

)

–

– lR^2

(21)

Таким образом, составляющие натяжения, действующего на единицу площади элемента ds равны

R^2l

R^2m

R^2n

Таким

образом, если элемент ds перпендикулярен эквипотенциальной поверхности, то действующая на него сила нормальна к поверхности, а численное значение силы, действующей на единицу площади, то же, что и в предыдущем случае, но направление её обратное - это не натяжение, а давление.

Итак, мы полностью определили характер напряжения в любой точке среды.

Направление электродвижущей напряжённости в точке является главной осью напряжения; напряжение в этом направлении носит характер натяжения, и его численное значение равно

p=R^2/8

(22)

где R - электродвижущая напряжённость.

Любое направление, перпендикулярное этому, также является главной осью напряжения; напряжение вдоль такой оси носит характер давления, численная величина которого также равна p.

Определённое так напряжение - не самого общего вида, так как для него два главных значения напряжения равны друг другу, а третье - равно им численно, но отличается знаком.

Эти условия уменьшают число независимых переменных, определяющих напряжение, с шести до трёх; поэтому оно полностью определяется составляющими электродвижущей напряжённости -(d/dx), -(d/dy), -(d/dz).

Три соотношения между шестью составляющими напряжения имеют вид

p^2

)

p^2

)

p^2

)

(23)

107. Посмотрим теперь, нуждаются ли полученные нами результаты в изменении в случае, когда конечное количество электричества сосредоточено на конечной поверхности, так что объёмная плотность заряда бесконечна на поверхности .

Как было показано в п. 78а, 786, в этом случае составляющие электродвижущей напряжённости разрывны на поверхности. Следовательно, и составляющие напряжения тоже разрывны на поверхности.

Пусть l, m, n - направляющие косинусы нормали к ds; P, Q, R - составляющие электродвижущей напряжённости на той стороне, куда проведена нормаль, а P', Q', R' - её составляющие с другой стороны.

Тогда, согласно 78а и 786

P-P'

Q-Q'