Учебное пособие по курсу «Нейроинформатика»

Миркес Е. М.

Далее в этом разделе для каждого из элементов, приведенных на рис. 1 определены правила обратного функционирования, в соответствии со сформулированными выше требованиями к элементам самодвойственной сети.

Синапс

У синапса два входа — вход сигнала и вход синаптического веса (рис. 6а). Обозначим входной сигнал синапса через x, а синаптический вес через α. Тогда выходной сигнал синапса равен αx. При обратном функционировании на выход синапса подается сигнал ∂F/∂(αx).

На входе синапса должен быть получен сигнал обратного функционирования, равный

, а на входе синаптического веса — поправка к синаптическому

весу, равная

(рис. 6б).

Умножитель

Умножитель имеет два входных сигнала и не имеет параметров. Обозначим входные сигнал синапса через x₁, x₂. Тогда выходной сигнал умножителя равен x₁x₂ (рис. 7а). При обратном функционировании на выход умножителя подается сигнал ∂F/∂(x₁x₂). На входах сигналов x₁ и x₂ должны быть получены сигналы обратного функционирования, равные

и

, соответственно (рис. 7б).

Точка ветвления

В отличие от ранее рассмотренных элементов, точка ветвления имеет только один вход и несколько выходов. Обозначим входной сигнал через x, а выходные через x₁, x₂, …, x_n, причем x_i=x (рис. 8а). При обратном функционировании на выходные связи точки ветвления подаются сигналы

(рис. 8б). На входной связи должен получаться сигнал, равный

. Можно сказать, что точка ветвления при обратном функционировании переходит в сумматор, или, другими словами, сумматор является двойственным по отношению к точке ветвления.

Сумматор

Сумматор считает сумму входных сигналов. Обычный сумматор не имеет параметров. При описании прямого и обратного функционирования ограничимся описанием простого сумматора, поскольку функционирование адаптивного и квадратичного сумматора может быть получено как прямое и обратное функционирование сети в соответствии с их схемами, приведенными на рис. 3б и 3в. Обозначим входные сигналы сумматора через x₁, x₂, …, x_n (рис. 9а). Выходной сигнал равен

. При обратном функционировании на выходную связь сумматора подается сигнал

(рис. 9б). На входных связях должны получаться сигналы, равные

Из последней формулы следует, что все сигналы обратного функционирования, выдаваемые на входные связи сумматора, равны. Таким образом сумматор при обратном функционировании переходит в точку ветвления, или, другими словами, сумматор является двойственным по отношению к точке ветвления.

Нелинейный Паде преобразователь

Нелинейный Паде преобразователь или Паде элемент имеет два входных сигнала и один выходной. Обозначим входные сигналы через x₁, x₂. Тогда выходной сигнал Паде элемента равен x₁/x₂ (рис. 10а).

При обратном функционировании на выход Паде элемента подается сигнал ∂F/∂(x₁/x₂).

На входах сигналов x₁ и x₂ и должны быть получены сигналы обратного функционирования, равные

и

, соответственно (рис. 10б).

Нелинейный сигмоидный преобразователь

Нелинейный сигмоидный преобразователь или сигмоидный элемент имеет один входной сигнал и один параметр. Сторонники чистого коннекционистского подхода считают, что обучаться в ходе обучения нейронной сети могут только веса связей. С этой точки зрения параметр сигмоидного элемента является не обучаемым и, как следствие, для него нет необходимости вычислять поправку. Однако, часть исследователей полагает, что нужно обучать все параметры всех элементов сети. Исходя из этого, опишем вычисление этим элементом поправки к содержащемуся в нем параметру.

Обозначим входной сигнал через x, параметр через α, а вычисляемую этим преобразователем функцию через σ(α,x) (рис. 11а). При обратном функционировании на выход сигмоидного элемента подается сигнал ∂F/∂σ(α,x).

На входе сигнала должен быть получен сигнал обратного функционирования, равный

, а на входе параметра поправка, равная

(рис. 11б).

Произвольный непрерывный нелинейный преобразователь

Произвольный непрерывный нелинейный преобразователь имеет несколько входных сигналов, а реализуемая им функция зависит от нескольких параметров. Выходной сигнал такого элемента вычисляется как некоторая функция φ(x,α), где x — вектор входных сигналов, а a — вектор параметров. При обратном функционировании на выходную связь элемента подается сигнал обратного функционирования, равный ∂F/∂φ.

На входы сигналов выдаются сигналы обратного функционирования, равные

, а на входах параметров вычисляются поправки, равные

Пороговый преобразователь

Пороговый преобразователь, реализующий функцию определения знака (рис. 12а), не является элементом с непрерывной функцией, и, следовательно, его обратное функционирование не может быть определено из требования вычисления градиента. Однако, при обучении сетей с пороговыми преобразователями полезно иметь возможность вычислять поправки к параметрам. Так как для порогового элемента нельзя определить однозначное поведение при обратном функционировании, предлагается доопределить его, исходя из соображений полезности при конструировании обучаемых сетей. Основным методом обучения сетей с пороговыми элементами является правило Хебба (подробно рассмотрено во второй части главы). Оно состоит из двух процедур, состоящих в изменении «весов связей между одновременно активными нейронами». Для этого правила пороговый элемент при обратном функционировании должен выдавать сигнал обратного функционирования, совпадающий с выданным им сигналом прямого функционирования (рис. 12б). Такой пороговый элемент будем называть зеркальным. При обучении сетей Хопфилда [312], подробно рассмотренном во второй части главы, необходимо использовать «прозрачные» пороговые элементы, которые при обратном функционировании пропускают сигнал без изменения (рис. 12в).

Правила остановки работы сети

При использовании сетей прямого распространения (сетей без циклов) вопроса об остановке сети не возникает. Действительно, сигналы поступают на элементы первого (входного) слоя и, проходя по связям, доходят до элементов последнего слоя. После снятия сигналов с последнего слоя все элементы сети оказываются «обесточенными», то есть ни по одной связи сети не проходит ни одного ненулевого сигнала. Сложнее обстоит дело при использовании сетей с циклами. В случае общего положения, после подачи сигналов на входные элементы сети по связям между элементами, входящими в цикл, ненулевые сигналы будут циркулировать сколь угодно долго.