Учение логики о доказательстве и опровержении

Асмус Валентин Фердинандович

Всё в целом это рассуждение — демонстрация. Основания доказательства не выделяются в группу положений, отдельных от демонстрации, но появляются каждое на том месте, какое определяется для него логической связью всех звеньев демонстрации.

Так как демонстрация — порядок связи между основаниями и тезисом— порядок, непросто усматриваемый из оснований, но такой, который ещё должен быть найден, то доказательство одного и того же положения науки может быть более или менее сложным или простым, громоздким или кратким и т. д. Самый порядок, план доказательства может варьироваться.

Связь

оснований, ведущая к усмотрению истинности доказываемого тезиса,— не единственная. А так как связь эта не дана вместе с самими основаниями, но ещё должна быть открыта, выяснена, найдена, то доказательство есть творческая задача науки, которая творческими же средствами и решается.

В ряде частных случаев задача доказательства оказывается настолько сложной, что разрешение её требует от учёных огромных усилий на протяжении целых десятилетий или даже столетий. До сих пор не найдено доказательство теоремы Ферма о том, что уравнение xⁿ = yⁿ+zⁿ не может иметь решений для всех целых значений n больших дЕух. В течение почти двух с половиной тысячелетий оставалось недоказанным существование атома, пока успехи новейшей экспериментальной и теоретической физики не принесли, наконец, это доказательство. Гениальная догадка Джордано Бруно о существовании планет, обращающихся вокруг других звёзд, получила доказательное подтверждение только в последние десятилетия. Во всех этих случаях учёным пришлось приложить немало усилий для доказательства того, что могло быть доказано лишь при определённых условиях развития наблюдения, эксперимента и теоретического анализа.

С другой стороны, там, где задача доказательства успешно разрешалась, пути и средства её разрешения у разных учёных были неодинаковы. Уже античная математика знала не одно единственное доказательство теоремы Пифагора, а целый ряд таких доказательств. И это типично для доказательства. Доказываемый тезис — один, логические законы мышления — одни, но способы, ведущие к признанию истинности тезиса, могут быть разные. Способы эти определяются: 1) основаниями, из которых выводится тезис, 2) связью между основаниями и тезисом. Связь эта не видна из оснований, отдельно взятых. Она находится посредством рассмотрения отношений между доказываемым тезисом и тем, что уже ранее было доказано.

Но так как от доказываемого тезиса к уже доказанным положениям можно перейти не одним единственным способом, доказательство способно к развитию и совершенствованию. От примитивных способов доказательства, опиравшихся на неточные, приблизительные и потому часто ошибочные наглядные представления, до современных доказательств, опирающихся на точно определённые понятия, на не зависящие одна от другой, свободные от противоречий, достаточные в своём числе аксиомы, а также на чрезвычайно строго доказанные теоремы, практика доказательства прошла большой путь уточнения и совершенствования. Соответственным образом изменилась, уточнилась и логическая теория доказательства.

V. Виды доказательства

Доказательства делятся на виды в зависимости от: 1) цели доказательства, 2) способа доказательства и 3) роли опытных данных как оснований доказательства.

1. Различие доказательств по цели доказательства

В отношении цели доказательство может быть или доказательством истинности, или доказательством ложности некоторого положения. Доказательство, имеющее целью установление истинности тезиса, называется просто доказательством. Доказательство, имеющее целью установление ложности тезиса, называется опровержением.

С логической точки зрения опровержение есть доказательство того, что между опровергаемым положением и другими положениями, о которых известно, что они истинны, существует отношение противоположности. Так как два противоположных

суждения не могут быть — согласно закону противоречия — оба сразу истинными, то из истинности суждений, противоположных опровергаемому, необходимо следует ложность опровергаемого положения. С этой точки зрения опровергнуть данное положение — значит найти такие положения, которые были бы противоположны данному и о которых было бы известно, что они истинны.

Такие противоположные опровергаемому и вместе с тем истинные положения могут быть либо суждениями о воспринимаемых или удостоверенных фактах, либо суждениями, доказанными на основании других истинных суждений.

Так, если американская пропаганда силится доказать, будто США стоят за мир, то это лживое утверждение опровергается указанием на факты, противоречащие ему. Такими известными всему миру фактами являются: создаваемые американцами во всех частях света военные базы; отказ правительства США от встречи глав великих держав с целью обсуждения всех спорных вопросов, имеющих значение для ослабления международного напряжения; поддержка правящими кругами США реакционных сил во всех странах; засылка шпионов и диверсантов в страны демократического лагеря и т. д. и т. п. Здесь опровержение достигается путём сопоставления опровергаемого положения с положением об удостоверенных фактах.

Но противоположные опровергаемому истинные положения могут быть не только суждениями, полученными из восприятия или удостоверения фактов. Они могут быть также суждениями, доказанными в качестве истинных на основании других истинных суждений. Так, положение о том, что ко всякой кривой можно провести касательную, опровергается путём сопоставления этого положения с противоречащим ему положением о существовании непрерывных функций, не имеющих производной. Но последнее положение доказывается на основании ряда других истинных положений.

Следует заметить, что опровержение того или иного суждения не зависит от того, будет ли противопоставляемое ему противоположное истинное суждение противоречащим или противным (контрарным) [23] . Так, положение о том, что «ни одно растение не питается животными», опровергается противопоставлением ему истинного положения о существовании растений, которые питаются или насекомыми, или рачками, личинками комаров, инфузориями и т. д. Здесь ложность опровергаемого общего суждения выводится из истинности противоречащего ему частного суждения.

23

Противоречащие и противные суждения — виды противоположных суждений. Противоположными называются два суждения, в одном из которых отрицается то, что утверждается в другом. Если одно из противоположных суждений общее, а другое — частное, то противоположность называется противоречащей, а сами суждения противоречащими. Если оба противоположных суждения — общие, то противоположность называется противной, а сами суждения — противными (контрарными).

Напротив, положение естествоиспытателей-метафизиков, что «ни один вид не изменяется и не переходит в другой», оказалось опровергнутым, когда было доказано, что «все виды изменяются и способны переходить в другие виды». Здесь ложность опровергаемого общего суждения выводится из доказанной истинности противного общего суждения.

Возможность опровержения ложного суждения путём противопоставления ему не только истинного противоречащего, но также и истинного противного (контрарного) суждения — вполне понятна. Опровержение, как мы уже знаем, состоит в выводе о ложности опровергаемого суждения из истинности некоторого другого суждения. Но возможность заключения от истинности данного суждения к ложности противоположного ему суждения не зависит от вида противоположности. Заключение это основывается на законе противоречия, а этот закон распространяется и на противоречащую и на противную противоположности.