Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
Шрифт:
Вероятно, самая монументальная из всех мебиусоподобных структур — это архитектура Национальной библиотеки Казахстана [160] . Ее проект, созданный датским архитектурным бюро BIG, напоминает спиральные завитки, которые изгибаются вверх-вниз, как в юрте, где «стены становятся крышей, крыша полом, а пол снова стенами».
Свойства ленты Мебиуса дают простор для творчества не только дизайнерам, но и инженерам. Например, лента для записи в виде ленты Мебиуса обладает двойным временем воспроизведения.
160
Эта библиотека в настоящий момент находится в стадии строительства. Информацию о разработке ее дизайна и макет проекта можно найти на сайте архитектурного бюро BIG (Bjarke Ingels Group),На сайте представлен также 41 слайд с изображением внутренней и внешней архитектуры библиотеки, обзором музея, воздействия температур и т. п. Все это необычно, поскольку проект здания построен на принципе ленты Мебиуса. Сведения об архитекторе Бьярке Ингельсе и его работе содержатся в статье G. Williams, Open source architect: Meet the maestro of ‘hedonistic sustainability, http://www.wired.co.uk/magazine/archive/2011/07/features/open-source-architect.
Компания BFGoodrich
Вероятно, самая хитрая область применения топологии та, где лента Мебиуса вообще не используется. Такие вариации на тему кручений и связей могут оказаться полезны в случае, если к вам на завтрак нагрянут гости. Это изобретение Джорджа Харта, папы Ви. Он геометр и скульптор, а в прошлом — преподаватель информатики в университете Стони Брука и куратор музея математики в Нью-Йорке. Джордж придумал, как разрезать бублик пополам так, чтобы две половинки остались сцепленными, как звенья цепи [162] .
161
Некоторые из них описаны в книге Pickover, The Mobius Strip. Вы можете найти сотни других, произведя поиск по ключевым словам «лента Мебиуса».
162
Способ разрезания бублика таким образом показан на сайте Джорджа ГартаМожно также посмотреть компьютерную анимацию, выполненную Биллом Джайлсом, наЕсли хотите проследить за процессом в реальном времени, найдите видео компании UltraNurd под названием Mobius Bagel («Бублик Мебиуса») наОднако, строго говоря, это не совсем бублик Мебиуса, о чем говорят многие, кто писал о работе Джорджа или пытался повторить его опыт. Поверхность, по которой растекается сливочный сыр, не является эквивалентом ленты Мебиуса, поскольку в ней два полуоборота вместо одного, в результате она имеет две стороны, а не одну. Кроме того, настоящий бублик Мебиуса, разрезанный пополам, состоит из одной части, а не из двух. Видеоролик о том, как разрезать бублик, действительно используя метод Мебиуса, см. http://www.youtube.com/watch?v=l6Vuh16r8°8.
Преимущество этого изобретения в том, что можно не только развлечь гостей, но и получить дополнительную площадь для намазывания сливочным сыром.
28. Мысли глобально
Появление наиболее известных идей геометрии обусловлено тем, что древние видели мир плоским [163] . В геометрических утверждениях, от леммы о параллельных прямых до теоремы Пифагора, прослеживаются вечные истины о некоем воображаемом двумерном ландшафте плоской геометрии.
163
Может показаться, что я говорю о геометрии на плоскости с некоторым пренебрежением, но это ошибочное впечатление. Я так не думаю, поскольку метод локальной аппроксимации криволинейной формы плоскости часто оказывался полезным упрощением во многих разделах математики и физики — от простых вычислений до теории относительности. Планиметрия — первый пример этой великой идеи.
И я не утверждаю, что буквально все древние думали, будто мир плоский. Об измерении Эратосфеном окружности и радиуса Земли см. N. Nicastro, Circumference (St. Martin’s Press, 2008). Более современный подход недавно продемонстрировал профессор Принстонского университета Роберт Вандербей во время выступления перед учениками геометрического класса средней школы, в котором учится его дочь. Возможно, вы захотите повторить его опыт. Чтобы показать, что Земля не плоская, и оценить ее диаметр, он использовал фотографию заката. Его слайды размещены по адресу http://orfe.princeton.edu/~rvdb/tex/sunset/34-39.OPN.1108twoup.pdf.
Задуманная в Индии, Китае, Египте и Вавилоне более 2500 лет назад, систематизированная и уточненная Евклидом и древними греками, эта геометрия, построенная на представлении о плоской Земле, — основная (и зачастую единственная), которой сегодня учат в старших классах средней школы. Но ведь за последние несколько тысячелетий многое изменилось.
В эпоху глобализации, интернета и межконтинентальных воздушных путешествий всем необходимо иметь представление о сферической геометрии и ее современном обобщении, дифференциальной геометрии [164] . Основным идеям последней около 200 лет. Своим возникновением она обязана Карлу Гауссу и Бернхарду Риману. Дифференциальная геометрия подводит фундамент под такое величественное интеллектуальное здание, как общая теория относительности Эйнштейна. В ее основе лежат красивые концепции, и они могут быть постигнуты каждым, кто когда-либо ездил на велосипеде, смотрел на глобус или растягивал резиновый шнур. Их понимание поможет вам разобраться в нескольких курьезах, которые вы могли заметить во время своих путешествий.
164
Превосходное введение в современную геометрию написано одним из величайших математиков ХХ века Давидом Гильбертом. Эта классическая работа, первоначально опубликованная в 1952 году, была переиздана в 1999-м, см. D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination (American Mathematical Society, 1999). Список нескольких хороших учебников и онлайн-курсов по дифференциальной геометрии приведен в «Википедии» по адресу http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_geometry.
Прим. ред.: Книги по дифференциальной геометрии: Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию / 2-е изд., исправл. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет». 2000; Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004; Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990;
Например, когда я был маленьким, папа любил задавать мне загадки по географии. «Что севернее, — спрашивал он, — Рим или Нью-Йорк?» Большинство людей думают, что Нью-Йорк, но удивительно, оба города находятся почти на одной широте, причем Рим даже немного севернее. На обычной карте мира (где из-за ошибочности меркаторовой проекции [165] Гренландия выглядит гигантской) кажется, что, двигаясь на восток, можно попасть прямо из Нью-Йорка в Рим. Тем не менее пилоты никогда не летят по этому маршруту. Из Нью-Йорка они всегда летят на северо-восток, придерживаясь побережья Канады. Раньше я думал, они это делают из соображений безопасности, но оказалось, был не прав. Просто с учетом кривизны Земли это самый прямой маршрут. [166] Кратчайший способ добраться из Нью-Йорка в Рим — пролететь вдоль канадской провинции Новая Шотландия и Ньюфаундленда, далее проследовать над Атлантикой и наконец, пройдя к югу от Ирландии и пролетев всю Францию, достичь солнечной Италии.
165
Равноугольная цилиндрическая проекция, предложенная в последней трети XVI века картографом Г. Меркатором. Используется в навигации, поскольку для нее углы между меридианом и курсом (пересекающей его линией) одинаковы на сфере и изображающей ее поверхности плоской карты. Прим. перев.
166
Интерактивное видео в режиме онлайн, которое позволит найти кратчайший маршрут между двумя любыми точками на поверхности Земли, см.(Для просмотра потребуется загрузить Mathematica Player, который в дальнейшем позволит открыть сотни других видео из всех разделов математики.)
Такой путь называется дугой большой окружности. Как и прямые в обычном пространстве, большие окружности на сфере содержат кратчайшие пути между любыми двумя точками. Яркие примеры больших окружностей — экватор и меридиональные окружности, проходящие через Северный и Южный полюс.
Еще одно свойство, общее для больших окружностей и прямых, заключается в том, что это самые прямые и короткие пути между двумя точками. Возможно, это звучит странно, поскольку все пути на глобусе кривые, так что же тогда подразумевается под «прямой»? Нетрудно заметить, что на шаре одни кривые более изогнуты, чем другие. Кривизна больших окружностей обусловлена лишь тем, что она вынуждена повторять изогнутость поверхности сферы.
Чтобы понять это, представьте, что вы едете на крошечном велосипеде по поверхности шара и пытаетесь не сбиться с определенного пути. Если это часть большой окружности, то переднее колесо велосипеда все время будет направлено строго прямо вперед. Вот в таком смысле большие окружности прямые. В противоположность этому, если вы попытаетесь ехать вдоль линии широты вблизи одного из полюсов, вам придется постоянно держать руль повернутым в сторону полюса.
Конечно, ни одна реальная поверхность не может состоять только из простых плоскостей и сфер. Например, человеческое тело, консервная банка или бублик имеют различного рода отверстия и проходы, которые делают запутанными передвижения по таким поверхностям. В этой ситуации задача поиска кратчайшего пути между любыми двумя точками становится чрезвычайно сложной. Поэтому, вместо того чтобы искать технические решения, применим интуитивный подход. Вот где пригодятся резиновые шнуры.
Представьте скользкий упругий резиновый шнур, который максимально сжимается, оставаясь на поверхности объекта. С его помощью легко определить кратчайший путь между Нью-Йорком и Римом или, в случае необходимости, между любыми двумя точками на любой поверхности. Прикрепите концы шнура к точкам отправления и прибытия и позвольте ему растянуться, но так, чтобы он повторял контур поверхности. Когда шнур растянется настолько, насколько позволяет резина, — вуаля! — получится след кратчайшего пути.
На более сложных поверхностях, чем плоскости или сферы, может произойти нечто необычное: между двумя точками в локальной области может существовать множество кратчайших путей. Например, рассмотрим поверхность жестяной банки из-под консервированного супа с двумя точками, лежащими прямо друг под другом.
Кратчайшим путем между этими точками, как показано выше, явно будет отрезок, и наш упругий резиновый шнур нашел бы это же решение. Тогда что же здесь необычного? Цилиндрическая форма консервной банки открывает новые возможности для разного рода деформаций. Предположим, нам нужно, чтобы, прежде чем оказаться в конечной точке, шнур один раз опоясал консервную банку. (Подобное ограничение накладывается на спираль ДНК, когда она оборачивается вокруг определенных белков в хромосомах.) В этом случае шнур, натягиваясь, образует спираль, подобную спирали на торговых знаках парикмахеров [167] .
167
Традиция пришла из средних веков, когда парикмахеры, чтобы привлечь внимание горожан к своему бизнесу, вешали на стене парикмахерской специальные знаки (что-то вроде вывески) в виде цилиндров, раскрашенных спиралями белого и красного цветов. В настоящее время в США эти знаки красят в белый, красный и синий цвета, а сам цилиндр помещается в стеклянную капсулу.
Такая спиралевидная траектория рассматривается как еще одно решение в задаче о кратчайшем пути в том смысле, что это кратчайший из близлежащих путей. Если немного сдвинуть шнур, то он обязательно станет длиннее, а затем снова натянется и вернется в исходное положение. Можно сказать, что этот кратчайший путь — местный чемпион среди всех путей при однократном обертывании шнура вокруг цилиндра. (Кстати, именно поэтому данная область математики называется «дифференциальной геометрией». Она изучает влияние малых локальных различий (англ. differences) на такие характеристики геометрических объектов, как разность в длине между близлежащими спиралевидными путями.)