Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
Шрифт:
При вертикальном переворачивании порядок чисел тоже изменился, но по-другому: они, помимо своего зеркального отражения, еще и перевернулись вверх тормашками.
При вращении зеркального отражения не получается, а числа повернулись кверху вниз, и там, где была 1, теперь 4, а вместо 2 появилось 3.
Однако это лишь детали. Самое главное — как эти преобразования соотносятся друг с другом. В схемах их взаимодействия зашифрована симметрия матраса.
Чтобы выявить их с минимальными усилиями, нарисуем следующую диаграмму.
В
Например, стрелка, ведущая из верхнего левого угла к нижнему правому, описывает вращение R. Она двусторонняя, поскольку, если выполнить действие R дважды, это будет равносильно возврату в исходное положение.
Данное свойство поворота можно описать уравнением RR = I, где RR означает «дважды выполнить действие R», а I является нейтральным элементом, означающим отсутствие действия. При горизонтальном и вертикальном переворачивании тоже происходит отмена этих преобразований: HH = I и VV = I.
На схеме также представлено много другой информации. Например, здесь показано, что рискованное вертикальное переворачивание V эквивалентно действию HR, горизонтальному переворачиванию, сопровождаемому поворотом. Этот путь к аналогичному результату гораздо безопаснее. Данную последовательность действий можно записать в виде уравнения HR = V [152] .
152
Несколько слов об обозначениях в этой главе, которые могут сбить с толку: в уравнениях типа HR = V символ H написан слева, поскольку демонстрирует, что это преобразование произведено в первую очередь. Картер применяет подобное обозначение в своей книге для функциональной композиции, однако читатель, возможно, знает, что многие математики используют обратную запись, в которой первое преобразование H находится справа.
Следует также отметить, что порядок выполнения действий не имеет значения, поскольку HR = RH, и оба пути ведут к V. Это верно для любой другой пары действий. Вы можете подумать, что это подобно коммутативному (переместительному) закону для сложения обычных чисел x и y, согласно которому x + y = y + x. Однако будьте внимательны: группа в примере с матрасом — особый случай. Во многих других группах коммутативный закон нарушается. Подчиняющиеся ему группы-счастливчики будут особенно понятными и простыми.
А теперь итоги. Эта схема показывает, как добиться наиболее равномерного изнашивания матраса. Любая стратегия, примененная для всех четырех состояний, будет периодически работать. Например, чередование действий R и H удобно, а поскольку у нас есть возможность миновать шаг V, то нам не требуется много физических усилий. Чтобы напомнить о необходимости выполнять эти действия, некоторые производители дают такой совет: «весной — поворот, осенью — переворот».
Группа чисел, свойственная матрасу, иногда всплывает в самых неожиданных местах, начиная от симметрии молекул воды и заканчивая принципами действия пары электрических переключателей. В этом и состоит прелесть теории групп. Благодаря ей становится очевидным единство вещей, которые в других случаях кажутся не связанными между собой — как в анекдоте о том, как физик Ричард Фейнман получил отсрочку от призыва в армию [153] .
Армейский психиатр попросил Фейнмана вытянуть вперед руки. Тот выполнил просьбу, выставив одну руку ладонью вверх, а вторую ладонью вниз. «Нет, по-другому», — сказал психиатр. Тогда Фейнман перевернул обе руки так, что одна ладонь опять оказалась вверху, а вторая внизу.
153
Историю о Фейнмане и психиатре см. R. P. Feynman, Surely You’re Joking, Mr. Feynman! (W. W. Norton and Company, 1985), р. 158; J. Gleick, Genius (Random House, 1993), р. 223.
Фейнман не играл в игры разума, а просто решил немного пошутить в духе теории групп.
Однако все это слишком усложняет наши отношения с матрасами. Возможно, настоящий урок здесь тот, который вам и так известен: если вас что-нибудь беспокоит, ложитесь спать, и все пройдет.
27. Кручение и склеивание
В нашей местной начальной школе существует традиция приглашать в класс родителей для разговоров с детьми. Благодаря этому ребята узнают о различных профессиях и многих вещах, которым их не учат в школе.
Когда пришла моя очередь, я явился в первый класс, где училась моя дочь, с сумкой, наполненной лентами Мебиуса [154] . Накануне вечером мы с женой нарезали длинные полоски из бумаги и скрутили каждый из них на пол-оборота, вот так:
154
Если вас интересует искусство, лимерики, патенты, уловки ораторов и серьезная математика, как-то связанная с лентами Мебиуса, тогда все это вы найдете в увлекательной книге Cliff Pickover, The Mobius Strip (Basic Books, 2006). Ранее об этих чудесах писалось в статье M. Gardner, The world of the Mobius strip: Endless, edgeless, and one-sided, Scientific American, Vol. 219, № 6 (December 1968).
а затем склеили концы полосок так, чтобы получились ленты Мебиуса.
Для этого увлекательного занятия с формами для шестилетних детей требуются лишь ножницы, карандаши, скотч и немного любознательности. [155]
Когда мы с женой раздали ученикам ленты Мебиуса и указанные выше принадлежности, учитель спросил у детей, каким, по их мнению, предметом они сейчас занимаются. Один мальчик поднял руку и сказал: «Не уверен, каким именно, но точно знаю, что не языкознанием».
155
Пошаговые инструкции с фотографиями для некоторых занятий, описанных в этой главе, можно найти в статье How to explore a Mobius strip наДжулиан Флерон предлагает множество других идей: бумажные гирлянды, сердечки и звездочки, для создания которых используются свойства ленты Мебиуса. См. Recycling Mobius, http://artofmathematics.wsc.ma.edu/sculpture/workinprogress/Mobius1206.pdf.
Кроме того, интересные бумажные модели описаны в классической книге S. Barr, Experiments in Topology (Crowell, 1964).
Конечно, учитель ожидал от него ответа «искусство» или, скорее, «математика». Однако лучшим ответом стала бы «топология» [156] . (В Итаке кто-нибудь из первоклассников обязательно бы такое выдал. Однако в том году ученик, чьи родители занимались топологией, учился в другом классе.)
Итак, что же такое топология? Это энергично развивающаяся отрасль современной математики, ответвление геометрии, но только более свободное. В топологии две формы рассматриваются как одна, если одна из них непрерывно переходит в другую в результате изгибов, кручения, растягивания или любой другой непрерывной деформации, но при этом ее нельзя разрывать или прокалывать. В отличие от жестких объектов в геометрии, объекты в топологии ведут себя так, как если бы были бесконечно гибкими или сделанными из идеальной резины.
156
Основы топологии изложены в авторитетной работе R. Courant and H. Robbins (revised by I. Stewart), What Is Mathematics? 2nd edition (Oxford University Press, 1996). Увлекательный обзор этой области математики дан в книге M. Gardner, The Colossal Book of Mathematics (W. W. Norton and Company, 2001). В ней рассматриваются бутылки Клейна, узлы, сцепленные бублики и прочие занимательные примеры из топологии. Прекрасное современное изложение представлено в книге D. S. Richeson, Euler’s Gem (Princeton University Press, 2008). Более сложная подача материала, которая все же будет понятна тем, кто имеет прочные школьные знания по математике, представлена в главах по алгебраической топологии и дифференциальной топологии книги T. Gowers, The Princeton Companion to Mathematics (Princeton University Press, 2008), pp. 383–408.
Прим. ред.: Популярные книги по топологии для начинающих: Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. М.: Наука, 1982; Васильев В. А. Введение в топологию. М.: ФАЗИС, 1997; Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. М.: Мир, 1983; Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М.: Мир, 1972; Прасолов В. В. Наглядная топология. М.: МЦНМО, 1995; Стюарт Я. Топология. // Квант. 1992. № 7.