Волшебный двурог
Шрифт:
— Три и шесть — девять, опять квадрат. А шесть и десять — шестнадцать, опять квадрат. Как интересно! Значит, очень просто эти слои считать: вычти число последнего слоя из следующего квадрата и получишь то, что надо. Следующий квадрат будет двадцать пять. Вычитаю десять, и выходит пятнадцать. Так?
— Твое наблюдение правильно. Это треугольные числа.
— Как интересно! — воскликнул Илюша. — И для всякого числа есть свое название! А выходит, что шесть — это очень знатное число: оно и совершенное и треугольное! Теперь: сколько же всего ядер выходит в куче?
Один слой — одно. Два слоя — четыре. Три слоя — десять. Четыре слоя — двадцать. Пять слоев — тридцать пять.
Строение
— А это пирамидальные числа.
— Ну да, потому что выходит пирамида из ядер.
— Конечно, — сказал Радикс. — Такое расположение имеет важное значение при изучении места отдельных
— 124 —
атомов или молекул в кристаллах. Они там тоже так уложены. Представь себе, что математики пришли к этой мысли раньше, чем физики! И все эти числа получить очень просто. Возьми-ка мел и пиши. В первом столбике напиши одну под другой пять единиц; во втором — те числа, которые ты видишь в пирамиде ядер сбоку; в третьем столбике — треугольные числа, а в четвертом — пирамидальные.
Илюша взял мел и написал то, что изображено справа.
— Смотри, какая у тебя получилась табличка. Каждое число в любой строке равно сумме того числа, которое стоит над ним, и того, которое стоит слева от него. Видишь?
— Верно, — отвечал Илюша. — Например, десять равно шести плюс четыре!
— А теперь, — продолжал его друг, — ты видишь, что эту табличку очень легко продолжить по этому правилу. Добавь-ка еще четыре единички в первой строке и три в первом столбце и заполни таблицу. И в каждой строке пиши одним числом меньше, чем в верхней. Ну-ка, пиши поскорей!
— Эта замечательная табличка называется треугольником Паскаля, — сказал Радикс, — потому что она была составлена французским математиком семнадцатого века Блезом Паскалем.
— Это тот самый, про которого ты вспоминал, когда Великий Змий пришел пробирать нас? — спросил Илюша.
— Он самый, — торжественно произнес Радикс. — Эту табличку до Паскаля, веком раньше, построили итальянские математики. Но в то время известия о новых открытиях распространялись не так быстро, как теперь. Мало того, что этот треугольник дает натуральные числа, треугольные, пирами-
— 125 —
дальние и многие другие, которые в общем называются фигурными числами, он дает еще более полезные и важные указания. Вот я его сейчас перепишу по-другому.
— Посмотри, — сказал он. — Тебе эти цифры ничего не напоминают?
Илюша внимательно посмотрел новую табличку, подумал, потом сказал:
— Один, два, один — это похоже на сто двадцать один, то есть на квадрат одиннадцати.
Потом Илюша взял мел и начал что-то старательно множить.
— Четвертая строка, — сказал он, — это будет куб одиннадцати, а пятая — четвертая степень одиннадцати.
— Правильно, — отвечал Радикс. — Ну, а кроме этого,
— Нет, — сказал Илюша, подумав, — больше, кажется, ничего.
— А помнишь ты формулу квадрата и куба суммы?
— Конечно!
— А как там идут коэффициенты?
Илюша помолчал, посмотрел на Радикса, потом на табличку и затем написал:
(а + b)2 = а2 + 2ab + b2.
(а + b)3 = а3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Внимательно посмотрев на эти хорошо знакомые формулы, а затем снова на табличку Радикса, Илюша сказал:
— А ведь верно! Если взять квадрат суммы, то при а2 коэффициент единица, при ab — двойка, а при b2 — снова единица, то есть коэффициенты идут, как в третьей строке: 1—2—1.
И в кубе суммы тоже идут, как в четвертой строке: 1—3—3—1.
Илюша умножил куб суммы на первую степень суммы и, довольный, сказал:
— Ну это просто замечательно! И в четвертой степени у нас получается:
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 ,
и, значит, коэффициенты идут опять, как здесь, в последней строчке: 1—4—6—4—1.
— 126 —
— Ну, так вот, — продолжал, улыбаясь, Радикс, — значит, с помощью этого треугольника, если ты его продолжишь (а как ты видел, это очень просто), ты можешь написать сумму в любой степени. Ты должен только запомнить еще одно нехитрое правило: степени первого слагаемого уменьшаются от той степени, в которую ты возводишь сумму, до нулевой, а степени второго слагаемого идут как раз в обратном порядке — от пулевой до старшей.
— Действительно так, — сказал Илюша, посмотрев на четвертую степень суммы.
— И это еще не все, — сказал Радикс. — Ты еще немало узнаешь в дальнейшем про эти числа. Они многое могут делать. Узнаешь также, что у Арамиса были весьма серьезные основания интересоваться этим треугольником (AЛ-I, XII).
— Вот почему он и сказал про двести семьдесят шесть ядер?
— Двести семьдесят шесть и двести пятьдесят три — это два пирамидальных числа. Но тут есть вещи и посерьезнее. Дело в том, что этот треугольник учит храбрых пушкарей не только складывать ядра в кучи: он учит их еще и стрелять из пушек! А самое главное, он учит их попадать этими ядрами как раз туда, куда следует, чтоб отвадить непрошеных гостей, которые падки на чужое добро!