Волшебный двурог
Шрифт:
— А теперь получился круг «А».
— Ну, вот и всё! — сказал Радикс. — Ты, я думаю, и сам видишь, что если переставляешь соседей четное число раз, то получается тот же круг. А если переставишь нечетное число раз любых соседей, причем неважно — этих ли самых или каких-нибудь других, то ты переводишь все расположение во второй круг, и тогда вернуться к первому кругу, не вынимая шашек из коробочки, невозможно. А теперь возьмем какую-нибудь комбинацию шашек в самом маленьком Дразнилке. Ответь мне: можно ли сказать сразу, выйдет у тебя в данном случае или не выйдет?
— Сказать я могу, — отвечал мальчик, — потому что помню, какие комбинации
— Та-ак… — довольно кисло протянул Радикс. — Однако не в числе шашек дело, потому что всего интереснее располагать правилом, которое было бы пригодно для любого числа шашек. Разумеется, мы начнем с того, что выясним, какие комбинации относятся к какому кругу, но в дальнейшем нам придется рассуждать уже по-иному. Не так ли? Как тебе кажется?
— Мне кажется, что нам нужно найти правило, по которому можно было бы сразу установить, выйдет данная комбинация или нет. Ты говорил, что все дело в том, сколько раз я переставлял соседние шашки…
— Так. Ну и что же?
— По-моему, можно так рассуждать. Каждый раз я меняю местами две шашки, то есть одну пару. Значит, надо сосчитать, сколько есть таких пар, которые поменялись местами.
Так как я не знаю, как именно они переставлялись, то надо пересмотреть все пары, которые стоят не в том порядке, который нужен. Вот, например, я начинаю с комбинации 1-2-3, затем идет комбинация 2-1-3. Тут только одна пара нарушает порядок: единица и двойка.
— Можно сказать, — вставил Радикс, — что эта пара образует беспорядок, инверсию.
— 103 —
— Хорошо. Значит, у нас здесь одна инверсия. Каждую пару я буду считать только один раз. Дальше беру комбинацию 2-3-1. Здесь есть две пары, образующие инверсии. Первая пара — единица и двойка, вторая — единица и тройка.
Двойка и тройка стоят относительно друг друга в порядке. Значит, здесь две инверсии. Беру еще одну комбинацию: 3-2-1. Здесь три пары шашек нарушают порядок. Первая пара — тройка и двойка. Вторая пара — тройка и единица. Третья пара — двойка и единица. Всего здесь три инверсии. Как ты и говорил, при четном количестве инверсий задачка решается…
— А если нет ни одной?
— Если нет ни одной, то и делать нечего, все и так в порядке. Значит, нуль тоже можно считать четным числом.
— Правильно.
— А если нечетное число инверсий, то задачка не может быть решена. Если подсчитать число инверсий в любой комбинации, то можно сразу сказать, выйдет или не выйдет. Если инверсий четное число, то выйдет; если нечетное, то не выйдет.
— Хорошо, — сказал Радикс, — а теперь перейдем к большому Дразнилке. Как там надо считать число инверсий и какой установить порядок?
Илюша задумался.
— Да, — промолвил он, — они просто по кругу не располагаются. Это ясно. Сейчас я попробую во всем разобраться. Ты не торопи меня. Ага, кажется, я начинаю кое-что понимать.
Начальный порядок там идет змейкой (верхний рисунок){7}.
— Правильно. Так вот мы и будем далее считать, «змейку» как нормальное начальное расположение в Дразнилке. Если двигаться по «змейке», то инверсий не получится. Вдоль нашей «змейки» мы и будем отсчитывать число инверсий. Теперь посмотрим, как вообще будет изменяться число инверсий, если
— 104 —
мы возьмем какое-нибудь — любое — расположение (рисунок средний){8} и в нем передвинем на пустое место (оно у нас во втором столбце и во второй строке) одну из шашек той же строки, то есть «три» или «восемь».
— Если идти вдоль по «змейке», — отвечал внимательный Илюша, — то число инверсий не изменится. Только разрыв в «змейке», который образует пустышка, перейдет на другое место, а в остальном расположение останется такое же.
— Прелестно! — отметил Радикс. — Ну, а если я на это место подвину одну из шашек того же столбца, то есть «десять» или «шесть», тогда что случится?
— Можно сосчитать! — сказал Илюша. — В первом случае мы перейдем к положению нижнего рисунка, то есть от ряда (по «змейке»)
1, 10, 15, 14, 12, 8, —, 3
к ряду
1, — , 15, 14, 12, 8, 10, 3.
Раньше «десять» образовывало инверсию с «восемью», а теперь этого не будет, но зато появятся инверсии «пятнадцати», «четырнадцати» и «двенадцати» с «десятью»; в общем, окажется на три инверсии больше и на одну меньше — в итоге на две инверсии больше. Если же передвинуть не «десять», а «шесть», то в средних строчках вместо ряда мы получим ряд
12, 8, —, 3, 11, 6, 7, 5
мы получим ряд
12, 8, 6, 3, 11, — , 7, 5;
значит, «шесть» перескочит через «три» и «одиннадцать» и будет теперь образовывать новую инверсию с «тремя», потеряв свою старую с «одиннадцатью», — число инверсий совсем не изменится.
— Вообще, — сказал Радикс, — где бы ты ни оставил пустышку, каждый раз, когда на ее место подвинешь соседнюю шашку сверху или снизу, число инверсий или вовсе не изменится, или изменится на четное число.
Большая стрелка показывает, как идет «змейка».
— 105 —
— Да-а, — протянул Илюша. — Из этих примеров выходит так. Но я не пойму: как надо рассуждать, чтобы убедиться в том, что всегда так будет выходить?
— Ну хорошо! — примирительно сказал Радикс. — Давай теперь соберем все наши наблюдения над Дразнилкой. И попробуем подытожить все вместе. Итак — шашка может обойти только четное число других шашек: две, четыре и шесть. Это и есть основа всей системы Дразнилки: если есть возможность, комбинируя друг с другом такие четные обходы, достигнуть желаемой позиции — задачка решается. Если нет, то и нет решения. Надо сравнить заданную позицию с желаемой: если между ними четное число инверсий — все в порядке! Если нечетное, ничего добиться нельзя. Вот и все! Любая позиция из круга иной четности переходит в обратный круг при перестановке с места на место одной-единственной (но не двух!) шашки. Если внимательно посмотреть на зеркальное отображение самого маленького трехшашечного Дразнилки, то ясно, что один круг переходит в другой как раз через зеркальное отображение. Но если это так, то всегда из задачи, которая «не выходит», можно сделать другую, которая «выходит». Это будет та же искомая позиция, но в зеркальном отображении. Конечно, как это в каждом случае сделать — уж вопрос другой (АЛ-1, VIII).