Волшебный двурог

Бобров Сергей Павлович

— 99 —

торые мы вам вывели, равны: один — синусу тридцати градусов, а другой — косинусу тридцати градусов.

Илюша не мог сразу сообразить, при чем тут равносторонний треугольник, но, вспомнив, что синус 30° действительно равен одному из приведенных Мнимием Радиксовичем коэффициентов (то есть половине), не решился спрашивать и дал себе слово, что на досуге возьмет геометрию и сам все разберет.

— Теперь, — сказал Илюша, — я, кажется, начинаю понимать, как вы помогаете. Это замечательно!

— Милый юноша, — отвечал ему Мнимий Радиксович, — все, что вы здесь увидите, все вам будет

помогать. Только надо научиться пользоваться нашей помощью. Это кажется трудным, но ведь вы когда-то и читать не умели, однако научились! Так и здесь то же самое. А если вы меня спросите теперь, почему мы с такой охотой беремся помогать вам в чужой задаче, то я вам отвечу, что, во-первых, всякому охота показать, на что он способен, ну, а потом, знаете, это все-таки довольно забавно — натянуть нос этим неповоротливым вещественным числам, чтобы они не важничали, потому что они народ ужасно спесивый, но совершенно не могут быть такими юркими, догадливыми и любезными, как мы! Однако, не всякий сразу с нами освоится. Вот, например, число шесть — поговорите о нем с вещественными числами, и они вам скажут, что это просто «дважды три». Справедливо, разумеется! Но с нашей точки зрения его можно еще немного иначе написать:

2 · 3 = 6 = (1 + -5)(1 + -5).

Попробуйте проверьте! Надо, видите ли, еще иметь в виду, что вопросы делимости могут касаться даже и алгебраических выражений, а ведь это очень важно, ибо алгебра-то и учит нас решать вопросы в общем виде. Вот задачка: дано выражение

m³ + 6m² + 11m + 6.

Спрашивается, делится оно на три или нет? Что вы на это скажете?

— Не знаю, — ответил смутившийся Илюша, — может быть, попробовать разложить на множители?

— 100 —

И мальчик получил:

(m + 2) (m + 3) (m + 4).

— А теперь заменим (m + 2) на n. И тогда?

Илюша написал, а затем ответил нерешительно:

— Три натуральных числа подряд. Произведение! Коли так… то должно делиться на три! Вот странная задачка! Сразу не разберешься. А ведь мне нужно еще узнать про Дразнилку, — обратился Илюша к Радиксу, ибо Мнимий уже исчез. — Ты расскажешь?

— Отчего же! — ответил Радикс, беря со стола три картоночки, каждая величиной с почтовую карточку, и протягивая их Илюше. — Мы с тобой сначала рассмотрим самый простенький случай — тройного Дразнилку, который у тебя назывался «икс». Помнишь?

— Помню! — сказал Илюша, разглядывая карточки. На каждой стояла цифра: 1, 2 и 3.

—

Так вот, — продолжал Радикс, — положи их на стол в обычном порядке. Запиши мелом на стене эту первую комбинацию, исходный порядок, то есть 1-2-3. А теперь перекладывай их так: ту, которая стоит спереди, клади в самый конец и повторяй дальше тем же порядком. Это круговая, или циклическая, перестановка.

Илюша переложил несколько раз, потом сказал:

— Больше не выходит. Опять то же самое получается.

— А теперь разложи их в обратном порядке: 3-2-1 и перекладывай опять так же.

— И тут то же, — ответил Илюша. — Опять я пришел к тому же, с чего начал, то есть к 3-2-1.

— Ну, теперь запиши.

Илюша записал так:

А)

1 — 2 — 3

2 — 3 — 1

3 — 1 — 2

Б)

3 — 2 — 1

2 — 1 — 3

1 — 3 — 2

— Вот они и все, — сказал Илюша, — их всего шесть штук.

— Попробуй, — посоветовал Радикс, — взять опять комбинацию 1-2-3 и перекладывать не переднюю назад, а заднюю вперед.

— Не стоит, — отвечал Илюша, — это я уже пробовал там, у Розамунды. То-то и дело, что они ходят друг за дружкой гуськом. И все равно в какую сторону двигать.

— 101 —

— Правильно, — сказал Радикс. — А теперь положи карточки рядом в порядке 1-2-3 и посмотри в зеркало, что у тебя получится.

Илюша посмотрел в зеркало и увидел, что из его комбинации 1-2-3 в зеркале получается 3-2-1.

— Как раз наоборот! — сказал он. — Из «А» получается «Б».

— Ну, теперь переставляй их вкруговую. И смотри, что выходит в зеркале.

Из 2-3-1 в зеркале вышло 1-3-2; из 3-1-2 получилось 2-1-3.

— Ну, как ты думаешь, — спросил Радикс, — можно ли уложить карточки так, чтобы и перед зеркалом и в зеркале получилось одно и то же расположение?

— Н-нет, — сказал в недоумении Илюша. — Ну как же это возможно? Нет, нельзя!

— Так, — отвечал его наставник, — Значит, там один круг, а здесь другой. Ну, вот и всё. Весь секрет Дразнилки в том, что там при наличии одной пустышки, в сущности, возможны только круговые перестановки. Игра в Дразнилку, как ты и сам понимаешь, это игрушка, почти безделка, но вот именно из-за того, что в этой игре участвуют эти круговые перестановки, о которых мы еще наговоримся впоследствии, игрушка эта получает довольно серьезный смысл. А перевести 1-2-3 в 3-2-1 циклической перестановкой нельзя, как нельзя добиться, чтобы в зеркале было то же, что перед зеркалом. Значит, если у тебя стоит с самого начала какая-нибудь комби-

— 102 —

нация из круга «А», то ты можешь прийти к основной комбинации 1-2-3. Это будет четный круг. Но если у тебя стоит комбинация из круга «Б», то ее перевести в основную комбинацию невозможно. Но это — круг нечетный. Попробуй теперь в основной комбинации 1-2-3 переставить две какие-нибудь рядом стоящие цифры.

Илюша переставил. Из 1-2-3 получилось 1-3-2, потому что он переставил 2 и 3.

— Вот теперь получился круг «Б».

— Переставь еще двух соседей.

Илюша поменял местами 3 и 1 и получил 3-1-2.