Загадки и диковинки в мире чисел
Шрифт:
Глава III Потомок древнего абака
Чеховская задача
Всем, вероятно, памятна в своем роде знаменитая арифметическая задача, которая так смутила семиклассника Зиберова из чеховского рассказа «Репетитор».
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?
С тонким юмором описывает Чехов, как беспомощно трудились над этой задачей и семиклассник-репетитор, и его ученик, двенадцатилетний Петя, пока не выручил их Петин отец, Удодов:
Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря, начинает делить 540 на 138.
– Для чего же вы делите? Постойте! Впрочем, так… продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Дайте-ка я разделю!
Зиберов [репетитор] делит, получает 3 с остатком и быстро стирает.
– Странно… – думает он, ероша волосы и краснея. – Как же она решается. Гм!..
Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63.
– Гм!., странно… Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8? Так, что ли? Нет, не то!
– Решайте же! – говорит он Пете.
– Ну, чего думаешь? Задача-то ведь пустяковая, – говорит Удодов Пете. – Экий ты дурак, братец! Решите уж вы ему, Егор Алексеич.
Егор Алексеич [репетитор] берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет, бледнеет.
– Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, – говорит он. – Ее с иксом и игреком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я вот разделил… Понимаете? Или, вот что. Решите мне эту задачу к завтраму… Подумайте…
Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба они понимают замешательство учителя. Ученик VII класса еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол.
– И без алгебры решить можно, – говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая. – Вот, извольте видеть…
Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.
– Вот-с… по-нашему, по-неученому.Эта сценка с задачей, заставляющая нас смеяться над конфузом несчастного репетитора, задает нам, в свою очередь, три новые задачи. А именно:
1. Как предполагал репетитор решить задачу алгебраически?
2. Как должен был ее решить Петя?
3. Как решил ее отец Пети на счетах «по-неучено-му»? На первые два вопроса, вероятно, без труда ответят если не все, то, во всяком случае, – многие читатели нашей книжки. Третий вопрос не так прост. Но рассмотрим три наши задачи по порядку.
1. Семиклассник-репетитор готов был решать задачу «с иксом и игреком», будучи уверен, что задача – «собственно говоря, алгебраическая». И он, надо думать, легко справился бы с ней, прибегнув к помощи системы уравнений, – только не неопределенных, как ему показалось. Составить два уравнения с двумя неизвестными для данной задачи очень нетрудно; вот они:х + у=38, 5х + 3у = 540,
где × и у — числа аршин синего и черного сукна.
2. Однако задача довольно легко решается и арифметически. Если бы вам пришлось решать ее, она, конечно, не затруднила бы вас. Вы начали бы с предположения, что все купленное сукно было синее, – тогда за всю партию в 138 аршин синего сукна пришлось бы уплатить 5 × 138 = 690 рублей; это на 690–540= 150 рублей больше того, что было заплачено в действительности. Разница в 150 рублей указывает, что в партии имелось и более дешевое черное сукно по 3 рубля аршин. Дешевого сукна было столько, что из двухрублевой разницы на 1 аршине составилось 150 рублей: очевидно, число аршин черного сукна определится, если разделить 150 на 2. Получаем ответ – 75; вычтя эти 75 аршин из общего числа 188 аршин, узнаем, сколько было синего сукна: 138 – 75 = 63. Так и должен был решать задачу Петя.
3. На очереди у нас третий вопрос: как решил задачу Удодов-старший?
В рассказе говорится об этом очень кратко: «Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было».
В чем же, однако, состояло это «щелканье на счетах»? Другими словами, каков способ решения задачи с помощью счетов?
Разгадка такова: злополучная задача решается на счетах тем же приемом, что и на бумаге, – тем же рядом арифметических действий. Но только выполнение их значительно упрощается благодаря преимуществам, которые наши русские счеты предоставляют всякому, умеющему с ними обращаться. Очевидно, отставной губернский секретарь Удодов хорошо умел считать на счетах, потому что их косточки быстро, без помощи алгебры, открыли ему то, чего репетитор-семиклассник добивался узнать «с иксом и игреком». Вот какие действия должен был проделать на счетах Петин отец.
Прежде всего ему нужно было, как мы знаем, умножить 138 на 5. Для этого он, по правилам действий на счетах, умножил сначала 138 на 10, – т. е. просто перенес 138 одной проволокой выше, – а затем разделил это число пополам, опять-таки на счетах же. Деление начинают снизу: откидывают половину косточек, отложенных на каждой проволоке; если число косточек на данной проволоке нечетное, то выходят из затруднения, «раздробляя» одну косточку этой проволоки на 10 нижних. В нашем, например, случае делят 1380 пополам так: на нижней проволоке, где отложено 8 косточек, откидывают 4 косточки (4 десятка), на средней проволоке из 3 косточек откидывают 1, а оставшуюся 1 косточку заменяют мысленно десятью нижними и делят пополам, добавляя 5 десятков к косточкам нижней; на верхней проволоке раздробляют одну косточку, прибавляя 5 сотен к косточкам средней проволоки. В результате на верхней проволоке совсем не остается косточек; на средней 1+5 = 6 сотен; на нижней 4 + 5 = 9 десятков. Итого, 690 единиц. Выполняется все это, конечно, автоматически.
Далее Удодову-старшему нужно было из 690 вычесть 540. Как проделывается это на счетах – всем известно.
Наконец, полученную разность, 150, оставалось разделить пополам: Удодов откинул из 5 косточек (десятков) 2, отдав 5 единиц нижнему ряду косточек; потом из 1 косточки на проволоке сотен отдал 5 десятков нижнему ряду: получилось 7 десятков и 5 единиц, т. е. 75.
Все эти простые действия выполняются на счетах гораздо скорее, чем тут описано.Русские счеты
Есть много полезных вещей, которых мы не умеем ценить только потому, что они, постоянно находясь у нас под руками, превратились в самый обыкновенный предмет нашего домашнего обихода. К числу таких недостаточно ценимых вещей принадлежат, бесспорно, и наши конторские счеты – русская народная счетная машина, представляющая собою лишь видоизменение знаменитого «абака», или «счетной доски» наших отдаленных предков. Все древние народы – египтяне, греки, римляне – употребляли при вычислениях счетный прибор «абак», очень походивший на наши десятикосточковые счеты [9] . В средние века вплоть до XVI века подобные приспособления были широко распространены в Европе. Но в наши дни видоизмененный абак – счеты – сохранился, кажется, только в России да в Китае (семикосточковые счеты, «суан-пан»). Запад не знает десятикосточковых счетов, – вы не найдете их ни в одном магазине Европы; быть может, потому-то мы и не ценим этого счетного прибора так высоко, как он заслуживает, смотрим на него как на какую-то наивную кустарную самодельщину в области счетных приборов.
Между тем мы вправе были бы гордиться нашими десятикосточковыми счетами, так как при изумительной простоте своего устройства они, по достигаемым на них результатам, могут соперничать в некоторых отношениях даже со сложными, дорогостоящими счетными машинами западных стран. В умелых руках этот нехитрый прибор делает порою настоящие чудеса. Иностранцы, впервые знакомящиеся с нашими сметами, охотно признают это и ценят их несравненно выше, нежели мы сами. Специалист, заведовавший одной из крупных русских фирм по продаже счетных машин, рассказывал мне, что ему не раз приходилось изумлять русскими счетами иностранцев, привозивших ему в контору образцы сложных счетных машин. Он устраивал состязание между двумя счетчиками, из которых один работал на дорогой заграничной «аддиционной» машине (т. е. машине для сложения), другой же пользовался обыкновенными счетами. И нередко случалось, что последний – правда, большой мастер своего дела, – брал верх над обладателем заморской машины в быстроте и точности вычислений. Бывало и так, что иностранец, пораженный быстротой работы на счетах, сразу же сдавался и складывал свою сложную машину обратно в чемодан, не надеясь продать в России ни одного экземпляра.
– К чему вам дорогие счетные машины, если вы так искусно считаете при помощи ваших дешевых счетов! – говорили нередко представители иностранных фирм.
А ведь заграничные машины в сотни раз дороже наших конторских счетов!
Правда, на русских счетах нельзя производить всех тех действий, которые выполняются машинами. Но во многом, например, в сложении и вычитании, счеты смело могут соперничать со сложными механизмами. Впрочем, умножение и деление в искусных руках также значительно ускоряются на счетах, – если знать специальные приемы выполнения этих действий.
Познакомимся же с некоторыми из этих приемов.
Умножение на счетах
Вот несколько приемов, пользуясь которыми, всякий, умеющий быстро складывать на счетах, сможет проворно выполнять встречающиеся на практике примеры умножения.
Умножение на 2 и на 3 заменяется простым сложением.
При умножении на 4 умножают сначала на 2 и складывают этот результат с самим собою.
Умножение числа на 5 выполняется на счетах так: переносят все число одной проволокой выше, – т. е. умножают его на 10, а затем делят это 10-кратное число пополам (как делить на 2 с помощью счетов – мы уже объяснили выше, на стр. 37).
Вместо умножения на 6 умножают на 5 и прибавляют умножаемое.
Вместо умножения на 7 множат на 10 и отнимают умножаемое три раза.
Умножение на 8 заменяют умножением на 10 без двух.
Точно так же множат на 9: заменяют умножением на 10 без 1.
При умножении на 10 – переносят, как мы уже сказали, все число одной проволокой выше.
Читатель теперь, вероятно, уже и сам сообразит, как надо поступать при умножении на числа больше 10 и какого рода замены тут окажутся наиболее удобными. Множитель 11 надо, конечно, заменить 10+1; множитель 12 заменяют 10 + 2, или практически 2 + 10, т. е. сначала откладывают удвоенное число, а затем прибавляют удесятеренное. Множитель 13 заменяется 10 + 3 и т. д.
Вот несколько особых случаев для множителей первой сотни:
20 = 10 × 2
22 = 11 × 2
25 = (100: 2): 2
26 = 25 + 1
27 = 30 – 3
32 = 22 + 10
42 = 22 + 20
43 = 33 + 10
45 = 50 – 5
63 = 33 + 30 и т. д.Легко видеть, между прочим, что с помощью счетов очень удобно умножать на такие числа, как на 22, 33, 44, 55 и т. п., а потому следует стремиться при разбивке множителей пользоваться подобными числами с одинаковыми цифрами. К сходным приемам прибегают и при умножении на числа, большие 100. Если искусственные приемы утомительны, мы всегда можем умножить с помощью счетов по общему правилу, умножая каждую цифру множителя и записывая частные произведения – это все же дает некоторое сокращение времени.