Закрученные пассажи: Проникая в тайны скрытых размерностей пространства.

Рэндалл Лиза

(а_хх² + а_уу² + a_zz²)^1/2.

Если a_x= a_y = a_z = 1, это соответствует плоскому пространству, так что расстояния и длины будут измеряться обычным способом. Например, длина вектора, исходящего из начала координат в точку {х, у, z}, будет равна (х² + у² + z²)^1/2.

В

более сложных метриках могут появляться перекрестные члены типа dxdy. В этом случае метрика должна описываться тензором с двумя индексами, которые определяют коэффициенты a_ij каждого слагаемого метрики вида dx_i dx_j. Позднее, при обсуждении теории относительности, у метрики появится слагаемое dt², а также возможные слагаемые вида dt dx_i.

3. Гиперсфера определяется уравнением

x₁² + x₂² +… + x_n² = r²

Здесь x_iобозначает i– ю координату (местоположение в i-м измерении), а r есть радиус гиперсферы. Сечение гиперсферы, когда она пересекает фиксированное положение в п-м измерении x_n = d, описывается уравнением

x₁² + x₂² +… + x_{n — 1}² = r² – d²

Это уравнение гиперсферы, размерность которой на единицу меньше, а радиус равен (г² — d²)^1/2. Так, например, когда п = 3 и сфера пересекает Флатландию, ее жители флатландцы будут видеть окружности. (Они будут видеть диски, если будут смотреть на окружности и на то, что внутри этих окружностей, что математически описывается неравенством.)

4. Многообразия Калаби — Яу не являются единственными скрытыми многообразиями в теории струн. Сейчас мы знаем, что и другие многообразия, например, многообразия, называемые (G2-голономными, могут приводить к приемлемым моделям.

5. В теории струн мы также иногда используем слово «брана» для обозначения заполняющих пространство бран, имеющих то же число измерений, что и многомерное пространство. Однако здесь мы сосредоточимся только на бранах, имеющих меньшее число измерений, чем полное многомерное пространство, так что я ограничусь использованием термина так, как описано в книге.

6. Брана, простирающаяся вдоль измерений х₁….,x_j, описывается п — jуравнениями

x_{j + 1} = c_{j + 1}, x_{j + 2} = c_{j + 2}…, x_n = c_n

где x_i — координаты, п — число измерений пространства, а с_i — фиксированные константы, описывающие положение браны. Более сложные браны, которые искривлены в данной системе координат, описываются более сложными уравнениями, описывающими поверхность.

7. В форме уравнения закон Ньютона утверждает, что сила тяготения равна

Gm₁m₂/r²

где G — ньютоновская постоянная, m₁ и m₂ — две массы, которые притягиваются друг к другу, а r — расстояние между ними.

8. Ньютоновское тяготение согласуется с евклидовой геометрией. В евклидовой геометрии длина вектора, проведенного в точку с координатами (х, у, z), равна (х² + у² + z²)^1/2 и не зависит от системы координат. Это означает, что вы можете вращать вашу систему координат, но расстояние до любой точки не будет меняться, даже если будут меняться отдельные координаты. Специальная теория относительности вводит в эту картину время. Она утверждает, что х² + у² + z² — c²– t² не зависит от вашего выбора инерциальной системы отсчета. Заметим, что эта инвариантная величина включает и пространство, и время, но время рассматривается иначе из-за знака минус перед слагаемым c²t². Заметим также, что для того, чтобы эта величина не зависела от выбора инерциальной системы, изменения системы отсчета должны перемешивать значения пространственных и временных координат. Если одна система отсчета движется со скоростью v по отношению к другой в направлении вдоль оси х, преобразования координат от (t, х, у, z) к (t', х', у', z') будут иметь вид

х' = х — ct, t' = t — x/c, у' = у, z' = z,

с

где — v/c, с — скорость света, = (1 — ²)^{– 1/2}.

9. Уравнения Эйнштейна указывают нам, как определить метрику g по известному распределению материи и энергии:

R ₌ ¹/₂gR = 8G/c⁴*T

Здесь R — тензор кривизны Риччи, связанный с метрикой g — тензор энергии-импульса, описывающий распределение материи и энергии, G — ньютоновская постоянная тяготения, с — скорость света. Например, для покоящегося вещества плотностью массы компонента T₀₀ = , в то время как все другие компоненты тензора равны нулю.

10. Энергия на единичный интервал частоты, излучаемая черным телом температурой Т зависит от частоты f согласно формуле f³/(е^hf/kT — 1), где k = 1,3807 — 10^{– 16} эрг/К — постоянная Больцмана, переводящая температуру в энергию. Обратите внимание на то, что при низких частотах энергия растет с частотой. Однако при частотах, когда энергия кванта hf велика по сравнению с kT, спектр резко обрывается, и излучаемая энергия при больших частотах экспоненциально мала.