Западноевропейская наука в средние века: Общие принципы и учение о движении
Шрифт:
Характерна фраза в начале цитированного отрывка, в которой устанавливается нисходящая иерархия понятий «интенсия»—«движение»—«пространство» [87] . Одной этой фразы достаточно, чтобы почувствовать дистанцию, отделяющую доктрину мертонской школы от аристотелевского учения о движении. У Аристотеля цель движения (логически) предшествует процессу движения: последний не может начаться, пока не задана его конечная точка; мертонцы также ищут начало, обусловливающее процесс движения, но находят его в том, что получило у них название интенсии движения. Интенсия движения, как мы помним, совпадает с его скоростью (или в некоторых контекстах — ускорением), представляемой прежде всего в виде особой (интенсивной) величины, непосредственно не связанной не только с путем, но и с временем движения. Это выделение в качестве важнейшего определяющего момента движения фактора, не имеющего отношения ни ко времени, ни к пространству, и в то же время обусловливающего процесс протекания движения, его быстроту или медленность, привело в недоумение многих современников мертонских «калькуляторов». Они отвергли представление о мгновенной (т. е. интенсивной) скорости ввиду его очевидной противоречивости: «мгновенное движение ни быстро, ни медленно, так как быстрое и медленное определяется временем» [88] . Действительно, если видеть в скорости вторичную характеристику, производную от движения, — а такого именно взгляда на скорость, точнее, на быстроту и медленность движения, придерживался Аристотель и вслед за ним большинство схоластов, — то о скорости можно судить только по результатам сопоставления временных и пространственных параметров уже закончившихся движений (или различных частей одного движения).
87
В английском переводе М. Кладжета [156, 244], где вместо «интенсии движения» (intensio motus) стоит слово «ускорение», а вместо «движения» (motus) — скорость, указанный смысловой оттенок оказался утраченным.
88
Это высказывание принадлежит, по-видимому, известному схоласту XIV в. Марсилию Ингенскому, который предположительно являлся автором трактата, изданного в сочинениях Дунса Скота: Marsilius Inghen (?). Quaestiones in octo libros physicorum Aristotelis — цит. по: [82, 215].
Здесь уместно напомнить приведенное выше суждение А. Майер о пропасти, разделяющей интенсивную трактовку скорости (в рамках которой первоначально вводилось определение мгновенной скорости) и любую попытку выразить это понятие через путь и время. Констатация этого факта послужила ей основанием для вывода о физической бессодержательности концепции интенсивной скорости. Против этой оценки трудно что-либо возразить, если не обратить внимание на обстоятельство, сразу же оговоренное нами, как только речь зашла о понятии интенсивной (и мгновенной) скорости: это понятие в мертонской доктрине фактически выполняет функцию формальной причины движения. Оно, конечно, не является формальной причиной в строгом, аристотелевском, смысле слова. Сами исследователи из Мертон-колледжа не называли скорость причиной движения, поскольку они считали себя продолжателями аристотелевской традиции в физике и не подвергали сомнению аристотелевское учение о четырех причинах. Но место, отводимое скорости в иерархии понятий, предназначенных для описания движения, создание концепции мгновенной скорости и наличие двух разных способов ее интерпретации могут служить аргументами в пользу высказанной нами точки зрения. Мгновенная скорость, стоит только предположить, что она является формальной причиной движения, тотчас же превращается из самопротиворечивого во вполне определенное понятие, поскольку никакая причина в аристотелевской физике не является объектом, локализуемым в пространстве и времени, т. е. не имеет пространственно-временных измерений. Кроме того, становится понятным, почему в средневековой физике мгновенная скорость получила двойное определение: интенсивное и экстенсивное — через путь, когда «всякому градусу локального движения соответствует некоторое линейное расстояние, которое было бы описано за некоторое данное время, если принять, что движение на протяжении всего этого времени происходит именно с этой степенью скорости» {156, 245]. Последнее определение Суайнсхеда, равно как и цитированное выше аналогичное определение Хейтсбери, уже не будут, при всем их отличии от собственно интенсивного аспекта понятия мгновенной скорости, казаться отделенными от него непроходимой пропастью; напротив, обе трактовки предстанут как внутренне взаимосвязанные моменты одного общего определения. Действительно, в обоих экстенсивных определениях о расстоянии говорится в сослагательном наклонении: это не то расстояние, которое действительно проходится телом (или наиболее быстро движущейся точкой тела), а то, которое было бы пройдено, если бы тело двигалось с должной степенью (мгновенной) скорости. Следовательно, расстояния, предшествующего измерению мгновенной скорости, нет, а есть, напротив, мгновенная скорость, на основании которой можно было бы вычислить (хотя и неизвестно, как это сделать) расстояние, которое будет пройдено (или могло бы быть пройдено), если движение будет происходить с такой-то скоростью. Мгновенная скорость является, таким образом, аналогом формальной причины, она гарантирует устойчивость в изменении, т. е. наличие закономерности, придающей «форму» процессу изменения, благодаря чему за определенное время будет пройдено определенное расстояние. Но появление такого «аналога» фактически смещало все акценты в аристотелевском учении о причинах, вступая в непримиримое противоречие с основными тенденциями последнего. Подразумеваемая понятием мгновенной скорости концепция причины отличалась и от динамической причинности физики нового времени. Она выполняла совсем другую функцию — функцию начала, порождающего последовательности временных и пространственных моментов, «отсчитываемых» телом в процессе движения. Конечно, «порождающего» не в смысле современной конструктивной математики, с явным указанием правил, на основании которых осуществляется переход-ют одного члена последовательности к другому. Тем более, что сами мертонцы ни о каких порождающих процедурах не говорили и говорить не могли. Однако «причинный статус» понятия интенсивной скорости, то обстоятельство, что его введение впервые дало возможность представить движение в виде «становящихся последовательностей» моментов времени, точек пути и градусов скорости, определенным образом взаимосвязанных, получают простое и естественное объяснение, если предположить, что исходная «картинка», представлявшаяся уму мертонских калькуляторов, своей расстановкой акцентов сродни интуиции, выразившейся в идее алгоритмического преобразования, осуществляемого шаг за шагом. Интенсивная скорость как бы генерирует последовательности основных параметров движения; поэтому столь важна роль этого понятия в мертонской концепции: оно указывает источник (причину) возникновения последовательностей.
«Порождающая модель» движения, как нам кажется, позволяет лучше ощутить специфику мертонской кинематики; на этом основании при дальнейшем анализе построений схоластов из Мертонколледжа она будет постоянно использоваться нами в качестве «рабочей гипотезы».
4.6. Отображение движения путем конструирования последовательностей
В случае равномерного движения интенсивная скорость, по существу, задает правило, в соответствии с которым будет происходить движение: если тело движется с большим градусом скорости, то оно пройдет за определенный промежуток времени большее расстояние, чем при движении с меньшим градусом; расстояния, проходимые за равные промежутки времени при движении с равной скоростью, будут равны. Интенсивная скорость, таким образом, является «генератором», работа которого складывается из дискретных «шагов»; эти «шаги» порождают сразу две последовательности: равных промежутков времени и равных отрезков пути. Обращение к «порождающей модели» поможет, мы надеемся, понять, как интенсивной величине скорости может быть сопоставлена экстенсивная величина расстояния (сопоставление, составляющее нерв определений Хейтсбери и Суайнсхеда), не сводя понятие скорости к отношению неподобных величин. Оба смысловых оттенка, содержащихся в понятии мгновенной (или интенсивной) скорости, окажутся равно необходимыми, если интерпретировать движение по аналогии с конструированием последовательностей. Все трансформации, внесенные мертонцами в аристотелевское учение о движении, были в конечном счете направлены на достижение именно этой цели: схватить движение (res successiva) путем конструирования разнообразных последовательностей.
Что касается равноускоренного движения, то его развернутая интерпретация в терминах порождения будет дана в ходе дальнейшего изложения. Здесь мы ограничимся несколькими замечаниями общего характера.
Как явствует из цитированного выше отрывка из трактата «De motu», если при равномерном (униформном) движении «скорость оценивается по максимальной линии, которую описывает точка», то величине intensio motus, характеризующей равноускоренное (униформно-дифформное) движение, также соответствует экстенсивная величина — широта (latitudo) движения. Ускорение в кинематике мертонцев — это не просто изменение скорости, т. е. чисто экстенсивная величина, измеряемая «расстоянием» между высшим и низшим градусом широты (их разностью); изменение скорости мыслится ими как движение по возрастающей или убывающей шкале градусов, совпадающей с максимальной широтой движения, т. е. как движение, происходящее с определенной скоростью. Intensio motus в случае равноускоренного движения является не чем иным, как скоростью пересчета градусов, заключенных между первым и конечным градусами всей широты. Уяснив это обстоятельство, мы легко теперь поймем, почему «в интенсии движения скорость оценивается по максимальной широте движения, приобретаемой в то или иное время».
В контексте анализа равноускоренного движения intensio motus рассматривается мертонцами, по сути дела, как интенсивная величина второго порядка, по отношению к которой широта движения, составленная из градусов скорости (интенсивных величин первого порядка) играет роль экстенсивной (производной от движения) величины: «генератор» (intensio motus) через равные промежутки времени, соответствующие продолжительности элементарного «Шага», отсчитывает градусы, возрастающие (или убывающие) в одинаковой пропорции. Каждой интенсивной величине первого порядка может быть сопоставлена некоторая абсолютно экстенсивная величина — путь, проходимый телом в равномерном движении с данным градусом широты. Мертонцы не умели вычислять этот путь для любого, произвольно взятого градуса. Единственный из всех градусов, характеризующих равноускоренное движение, которому они нашли способ сопоставить его экстенсивную меру, — это средний градус широты. Немного ниже будет подробно изложено, как они это сделали. Здесь же для нас важно подчеркнуть, что путем введения (неявной) иерархии интенсивных величин, выполняющих функцию «генераторов», мертонцы «выводят» сначала последовательности градусов, составляющих ту или иную широту движения, а затем последовательности отрезков пути, проходимых при равномерном движении, «раскладывая» тем самым движение по «порождающей модели».
Эта модель позволяет объяснить еще один важный пункт в учении мертонской школы о движении. И в античности, и в средние века доминировало определение равноускоренного движения, согласно которому возрастание величины скорости (или быстроты и медленности) в такого рода движении происходит прямо пропорционально проходимому расстоянию. Такого мнения придерживались Стратои, Александр Афродизийский, Симпликий, Альберт Саксонский, Марсилий Ингенский, а также (в своих ранних работах) и Галилей. Гораздо более плодотворной оказалась концепция, развитая в Мертон-колледже, в соответствии с которой отсчет градусов скорости велся по шкале времени. Историки физики согласны в том, что введениие временной шкалы для определения скорости в равноускоренном движении дало мощный толчок развитию кинематики, явившись одной из главных предпосылок создания математической концепции движения. Но мы не найдем у них ответа па вопрос, что побудило мертонцев отказаться от традиционного представления; переход к временной шкале оказывается ничем не обоснованным, результатом счастливого стечения обстоятельств. Но если допустить, что главной рабочей интуицией мертонцев, хотя и не высказанной ими в явной форме и, по-видимому, даже осознаваемой ими далеко не во всех деталях, является интуиция движения как процесса, состоящего в развертывании бесчисленного множества последовательностей, то станет очевидным, что они просто не могли иначе определить шкалу скоростей, характеризующих равноускоренное движение. Ибо если последовательность скоростей есть результат наличия intensio motus, т. е. начала, порождающего эту последовательность, то такое порождение может иметь место только во времени, которое составляет его необходимую предпосылку.
4.7. Мертонская теорема о среднем градусе скорости
Главным результатом математических вычислений, проводившихся в Мертон-колледже, были формулировка и доказательство фундаментальной кинематической теоремы, которая приравнивает (в отношении пути, пройденного за определенный отрезок времени) равноускоренное движение равномерному, скорость которого равна скорости равноускоренного движения в средний момент времени последнего. В современной символической записи мертонская теорема средней скорости будет выглядеть следующим образом:
1) S = 1/2 • Vf • t — для случая ускорения от состояния покоя;
2) S = (v0 + (vf – v0)/2)/t — для ускорения от начальной скорости v0.
где S обозначает проходимое расстояние, vf — конечную скорость, a t — время ускорения.
Рассмотрим вначале доказательство Суайнсхеда, а затем доказательство Хейтсбери.
а) Доказательство Ричарда Суайнсхеда
Выше приводилось одно из мертонских доказательств теоремы о среднем градусе, принадлежащее Суайнсхеду. Доказательству в трактате Суайнсхеда предпосланы формулировка и разъяснение самой теоремы: «Всякая широта движения, равномерно приобретаемая или утрачиваемая, соответствует своему среднему градусу… Я говорю, что широта, которая приобретается, соответствует своему среднему градусу в том смысле, что ровно столько же будет пройдено посредством той широты, таким именно образом приобретаемой, сколько и посредством ее среднего градуса, если в продолжение всего (totum) времени движение будет происходить с тем средним градусом» [89] . Чтобы доказать это утверждение, Суайнсхед предлагает проделать мысленный эксперимент (излагая его рассуждение, мы постараемся воспроизвести основную идею, не следуя буквально способам ее выражения). Предположим, что тело x движется равноускоренно в течение времени tx и за это время его скорость возрастает от b до а градусов. Приращение скорости от b до а есть не что иное, как широта движения х. Пусть точно такая же широта движения «равномерно утрачивается» при равнозамедленном движении тела у за время ty (tx = ty). При этом предполагается, что движение у происходит с ускорением, равным (по абсолютной величине) ускорению x (точнее, Суайнсхед говорит не об ускорении, а о том, что а уменьшается и b возрастает при движении у и x равно быстро (equevelociter)). Последнее предположение реализуется в мысленном эксперименте в виде дополнительных требований, налагаемых на движение x и y: 1) x и y начинают двигаться одновременно;
89
Ricardus Swineshead. Liber calculationum. Regule de motu locali. Цит. по: [82. 298J.
2) «сколько одно (x) приобретает, столько другое (y) утрачивает». Если эксплицировать пункты, выполнение которых подразумевается краткой формулировкой второго требования, то они состоят в следующем. Пусть движение х, у начинается в момент времени t0, a U обозначает произвольный момент времени их движения. В момент ti x будет иметь скорость bi (bi > b), а у — скорость ai (ai < a). Тогда в соответствии со вторым требованием bi—b = a—ai.
Если с = (a – b)/2, т. е. является средним градусом широты, то x и y достигнут с одновременно, так что x и y будут иметь одинаковую скорость с в момент tk (tk = (ti – t0)/2), где ti — момент окончания движения х, у. Точнее, если обозначить через
скорости x, y в момент времени tn, то
Отсюда
Но и для произвольного момента времени