Западноевропейская наука в средние века: Общие принципы и учение о движении
Шрифт:
Таким образом, интуиция счета, взятая за основу модели движения, сразу же приводит к необходимости оперировать бесконечными последовательностями. Но с бесконечными последовательностями, образующимися в результате добавления членов к уже имеющимся, мертонцы не умели еще работать. Они предпочитали иметь дело с частями уже данного конечного отрезка, получаемыми в результате его последовательных делений. Определение интенсии не через приближение, а через отстояние от точки отсчета (не-градус) позволяет задать величину градуса с помощью конечного отрезка, характеризующего уже происшедшее изменение. Зависимость между величиной градуса и его отстоянием от точки отсчета становится в данном случае совершенно прозрачной. «Если некое количество, — пишет Суайнсхед, — больше отличается от нуля (a non-quanto), чем другое количество, то оно называется большим; отсюда точно так же, если нечто дальше отстоит от не-градуса своей интенсивности, то оно называется более интенсивным» [там же]. Если интенсия представляет собой движение в одном направлении, то ремиссия есть аналогичное движение, но в обратном направлении [82] . Поэтому «терять ремиссию есть не что иное, как приобретать интенсию, что понятно, поскольку ремиссию следует понимать как недостаток интенсии» [там же].
82
То, что интенсия и ремиссия мыслятся Суайнсхедом как два противоположно направленных движения, очень хорошо видно из его доказательства теоремы о среднем градусе, анализ которой будет дан ниже. «Прежде всего доказывается, что все, составленное из двух неравных, является двойным по отношению к среднему между ними, как, например, составленное из 8 и 4 является двойным к 6.
4.2. Математические предпосылки создания новой модели движения
Разъясним теперь более подробно, что мы имели в виду, говоря об основной интуиции мертонской школы, обращение к которой знаменовало начало нового — неаристотелевского — этапа в развитии учения о движении. Может показаться, что смысл доктрины интенсии и ремиссии качеств (и все цитированные выше отрывки из «Книги вычислений» Ричарда Суайнсхеда как будто свидетельствуют в пользу этого мнения) не только не сводим к интуиции счета, но и прямо ей противоположен: Суайнсхед исходит из предположения о непрерывности качественного изменения, непрерывности движения и ищет способ, с помощью которого можно было бы охарактеризовать процесс возрастания или убывания величины, рассматриваемой как мера интенсивности качества. Если счет представляет собой дискретную последовательность элементарных шагов, каждый из которых приводит к полаганию нового числа, отличающегося от предыдущего на совершенно определенную величину (например, единицу), вследствие чего ряд, порождаемый в процессе счета, состоит из дискретных величин, то восходящее к Аристотелю представление о непрерывности отрицает наличие в непрерывном ряду вообще какого бы то ни было «расстояния», разделяющего значения двух произвольно взятых точек. Однако объяснительной силы, заключенной в аристотелевском понятии непрерывности, согласно которому в непрерывной величине между любыми двумя точками всегда может быть найдена третья, промежуточная, было достаточно только для того, чтобы исключить случай мгновенного изменения; оно было совершенно неконструктивным в том смысле, что не влекло никаких новых способов описания движения, не вело к формированию соответствующего языка. Решающий шаг к созданию такого языка был сделан в работах мертонских «калькуляторов». Удалось им его создать в значительной мере благодаря новому подходу к проблеме непрерывности: они оперировали не с непрерывностью как таковой, а с бесконечными дискретными последовательностями [83] , каждая из которых выделяет в континууме дискретное (упорядоченное) множество частей. Непрерывность у мертонцев была фоном, на котором развертывалось построение дискретных последовательностей; но тем самым переосмыслялось само понятие непрерывности: если Аристотель вводит это понятие, апеллируя к процедуре деления, которая может быть продолжена до бесконечности, — процедуре, несовместимой с существованием дискретных величин и в этом отношении представляющей собой альтернативу процессу счета, — то непрерывность для исследователей из Мертонколледжа служит предпосылкой для организации процедур счета, приводящих к образованию различных последовательностей. Постулат непрерывности оказывается у них, по сути дела, синонимом существования бесконечного числа различных способов «пересчета», отличающихся «длиной» элементарных шагов, который может быть осуществлен на любом отрезке, рассматриваемом как непрерывная величина. Иначе говоря, вместо непрерывности, определяемой отрицательным образом, как отсутствие дискретных частей, которые могут быть сосчитаны, «калькуляторы» работают с непрерывностью, подлежащей счету (хотя и не могущей быть сосчитанной единственным образом, с помощью той или иной конкретной процедуры счета), т. е. она фактически оказывается результатом совмещения в одном ряду бесконечного числа считаемых последовательностей.
83
Понятие последовательности в современной математике является вторичным по отношению к понятию натурального ряда, обозначая множество значений некоторой функции, аргумент которой пробегает натуральный ряд чисел. В то же время, как показывает анализ конструктивной процедуры порождения натурального ряда чисел, чтобы задать этот ряд, необходимо воспользоваться особого рода операцией — «следования за»; тем самым идея последовательного полагания отдельных моментов (элементов) фактически признается первичной, базисной интуицией математики. Вот эту интуицию, с трудом поддающуюся (несмотря на всю свою очевидность и простоту) выражению, мы и подразумеваем, употребляя (за неимением лучшего) привычный математический термин «последовательность».
Чтобы оценить вклад мертонской школы в формирование математического понятия непрерывности (и в учение о движении, понимаемом как непрерывный процесс), недостаточно отметить, что в работах представителей этой школы дискретные последовательности становятся рабочим инструментом исследования непрерывности; надо учесть, что хотя античная математика и сформулировала ряд примеров числовых последовательностей (например, арифметическая и геометрическая прогрессия), но, во-первых, последовательность так таковая, как особого рода математический объект, не была в ней предметом специального исследования, а, во-вторых, указанные последовательности играли весьма незначительную роль в математических исследованиях. Античные математики занимались главным образом сопоставлением величин, скажем, величин отрезков, составляющих ту или иную геометрическую фигуру; с этой целью в античности была детально разработана теория пропорций, позволяющая сравнить между собой любые конечные величины. В тех сравнительно немногочисленных случаях, когда применялись инфинитезимальные методы, использовался процесс последовательного приближения к пределу, однако, как правило, в контексте решения геометрических задач; обобщенная, теоретико-числовая формулировка построений такого типа отсутствовала в математике древних. И в этом отношении работы мертонцев представляют значительный шаг вперед.
В работах Хейтсбери, Суайнсхеда, Дамблтона. происходит переосмысление понятия величины. В античной математике господствовали геометрические интуиции: величины представлялись в ней в виде отрезков различной длины. Такая геометрическая трактовка понятия величины была неслучайной. Существует несомненная связь между аристотелевской концепцией движения и античным понятием величины. Как движение (увиденное сквозь призму целевого определения), так и отрезок характеризуют, по сути дела, одним и тем же способом: путем задания двух точек, начальной и конечной. Вследствие этого и отрезок, и понимаемое таким образом движение предстают как нечто данное, завершенное, воспринимаемое сразу, целиком.
«Геометризация» величин влечет за собой выдвижение на первый план количественных характеристик: в центре внимания оказались те особенности понятия величины, которые схватываются понятием «количественное число»; геометрия древних не благоприятствовала развитию интуиции, заложенных в порядковых характеристиках числа. Для этого необходимо было от оперирования с актуально данными количествами перейти к величинам, рассматриваемым в процессе их последовательного порождения. Пусть это будут величины, характеризующие длину отрезков, но не заранее данных, а получаемых в определенном порядке в результате повторного деления исходного отрезка на равные части. Именно это и делают исследователи из Мертон-колледжа.
4.3. Различение экстенсивных и интенсивных параметров движения. Скорость как интенсивная величина
В рамках учения об интенсии и ремиссии мертонцы создают основы нового учения о движении, радикально переосмысляя в ряде пунктов аристотелевскую концепцию движения. Главную роль в их учении о движении играет понятие равноускоренного движения (униформно-дифформного, по их терминологии). «Всякое движение является равномерно ускоренным (uniformiter intenditur), если за любую равную часть времени оно приобретает равное приращение (latitudo — буквально, широту) скорости» [103, 241]. Ключевым понятием в этом определении, безусловно, является понятие «скорость» (velocitas). У Аристотеля, как известно, не было термина, аналогичного средневековому velocitas; описывая движения, он выделял среди них «более быстрые» и «более медленные». Эти выражения только в том случае могут интерпретироваться как указывающие на различие скоростей при сопоставлении разных движений, если понятие скорости как таковое уже есть; до тех пор, пока оно не сформировано, приписывать терминам «более быстрое» и «более медленное» тот же смысл, что и более позднему термину «скорость», нельзя, не стирая принципиальной границы, отделяющей ранний (аристотелевский) этап в развитии учения о движении от более поздних (мертонского и галилеевского). Чтобы убедиться в этом, достаточно обратить внимание на аристотелевское определение «более быстрого» (из которого, путем очевидных модификаций, получается и определение «более медленного»). Аристотель дает два варианта определения: более быстрое движение 1) преодолевает то же расстояние за меньшее время; 2) за одно и то же время преодолевает большее расстояние. Отметим прежде всего то обстоятельство, что в определении идет речь о разных движениях, а не о частях одного и того же движения. Это не случайно, ибо сравнению подлежит уже закончившееся, завершенное движение, точнее, его результат, выражающийся в прохождении некоторого отрезка пути за определенный отрезок времени.
В отличие от механики нового времени, отождествившей (хотя и не сразу) понятие скорости с отношением двух величин (пути и времени), на протяжении всего средневековья скорость понималась как особого рода качество, присущее телу только в момент его движения. Скорость, понимаемую как качество, нельзя свести ни к какому отношению, и не только потому, что для этого потребовалось бы ввести отношение между неподобными величинами, а это противоречило традиции, в русле которой развивалась математика со времен античности. Скорость не могла быть представлена в виде отношения прежде всего потому, что она была подведена под другую категорию. Присущая схоластике культура логического мышления удерживала исследователей от искушения перевести понятие, соответствующее категории качества, в другую категорию. Считалось допустимым сопоставить одному качеству одно понятие, принадлежащее к другой категории, например некоторую величину, а отношению качеств — отношение величин (установление таких соответствий является как раз одной из наиболее характерных черт учения о движении в рассматриваемый период), но нельзя было за меру одного качества взять отношение нескольких величин.
К качествам, рассматривавшимся Аристотелем, средневековые авторы добавили новое: качество движения (qualitas motus), совпадающее с его интенсивностью (intensio motus). Качество движения они отличали от его количества (quantitas motus). Это очень важное для средневековой механики различие появилось в результате приложения к учению о движении фундаментального различия, введенного в XIV в. в схоластику, выражаемого противопоставлением интенсивного и экстенсивного. Анализируя динамический аспект движения, Томас Брадвардин в «Трактате о пропорциях скоростей в движениях» (1328 г.) приходит к выводу, что о зависимости, существующей между скоростью движения и сопротивлением среды, можно говорить в двояком смысле. Среда в целом и части среды «будут равны по качеству сопротивления», но, очевидно, отличаться по количеству (имеется в виду случай движения в однородной среде). Поэтому, если сопоставить между собой различные части движения одного и того же тела, то окажется, что они «не отличаются по качеству движения (которое есть быстрота и медленность — velocitas et tarditas), но скорее различаются по количеству движения (которое есть долгота или краткость времени — longitudo vel brevitas temporum)» [162, 118].
Из трактата Брадвардина различение качества и количества движения перешло в работы мертонских «калькуляторов», а оттуда — к Николаю Орему, парижскому номиналисту, которому удалось придать учению о широте форм гораздо более удобопонятный вид благодаря использованию геометрических методов. В «Трактате о конфигурации качеств» (написан до 1371 г.) Орем предлагает изображать интенсивность любого качества, в том числе и соответствующую качеству движения, «в виде прямой линии, направленной отвесно в какой-нибудь точке пространства» [46, 637], а экстенсивность — посредством линии, проведенной через предмет, на каковой линии отвесно поставлена линия интенсивности его качества» [46, 640]. Интенсивность качества является характеристикой, независимой от пространственной протяженности и временной длительности, присущей, в отличие от двух последних, любому качеству: «ни одно качество, приобретаемое в процессе качественного изменения, не может быть воображаемо без интенсивности, т. е. без различия в смысле интенсивности, тогда как оно вполне может быть воображаемо без экстенсивности, более того, качество неделимого предмета (например, души или ангела) экстенсивности не имеет» [46, 639]. Интенсивная характеристика движения (его качество), не имеющая протяженности и длительности, — это мгновенная скорость, или, что то же самое, интенсивность скорости (intensio velocitatis) [84] . Движение в целом оказывалось тогда как бы состоящим из неделимых моментов, но показательно, что вместо точки — геометрического образа момента движения в античной физике — Орем говорит о перпендикуляре, т. е. об отрезках определенной длины, только величина этих отрезков непосредственно не имеет никакого отношения к протяжению и длительности, т. е. к экстенсивным параметрам движения. «Интенсивные величины» (соответствующие intensio motus, intensio velocitatis) были величинами другого, не пространственно-временного измерения. Они вели себя как величины до тех пор, пока их сравнивали только между собой, отвлекаясь от экстенсивного аспекта движения, представленного в понятии количества движения, или целокупной (суммарной) скорости (quantitas motus, totalis velocitas). На геометрическом языке Орема последнему понятию соответствовала площадь фигуры, образованной в результате суммирования всех скоростных перпендикуляров, указывающих величину intensio velocitatis в каждый момент движения. Площадь, таким образом, мыслилась состоящей из линий, из того, что не имеет величины, если под величиной подразумевать только обладающее двумя измерениями. Тем самым был решен вопрос о наглядной геометрической иллюстрации соотношения понятий качества и количества движения.
84
Термин «мгновенная скорость» — velocitas instantanea — в средневековой кинематике использовался исключительно для характеристики неравномерного движения, в то время как intensio velocitatis относилось к любому движению.
Но каков был физический смысл этих понятий? Чтобы оценить его адекватно, надо учесть принципиальное различие в трактовке понятия скорости, даваемой, с одной стороны, средневековым учением о широте форм, а с другой — механикой нового времени, о чем уже упоминалось в общих чертах. Если скорость в классической физике определяется через путь и время, то в средневековой ее величина (градус скорости) задается совершенно произвольно. Средневековые авторы, говоря о том, что движущееся тело имеет скорость 2, 4, 6 или п, даже не пытались выяснить, что это значит, каким образом можно измерить эти величины, к какой системе единиц они относятся. На этом основании А. Майер относит in-tensio velocitatis к понятиям скорее метафизическим, чем физическим (см.: [125, 122]). Определению скорости как интенсивности (под которое подпадает и общее определение мгновенной скорости) она противопоставляет другое определение мгновенной скорости, которое было дано Хейтсбери: «Скорость в любой данный момент времени будет определяться путем, который был бы описан наиболее быстро движущейся точкой, если бы в течение некоторого периода времени она двигалась бы равномерно с той степенью скорости, с которой она двигалась в этот момент, какой бы момент ни был указан» [103, 240]. А. Майер, по-видимому, права, рассматривая понятие интенсивности скорости (характеризуемое «интенсивной величиной» — градусом скорости) и определение скорости через экстенсивную величину (путь) как совершенно различные определения, внутренне не связанные между собой. Точно так же Майер настаивает на отсутствии какой бы то ни было связи и между понятиями суммарной (total) скорости и пути, отказывая вследствие этого понятию velocitas totalis в физическом содержании. Разбирая оремов способ представления суммарной скорости в виде площади геометрической фигуры, она резюмирует: «Мера этой площади есть не что иное, как совокупное количество наличных скоростей: понятие, лишенное физического значения. Отсюда нет пути к познанию, что эта мера отвечает пройденному пути». Только «гениальная небрежность» Орема, как пишет далее А. Майер, позволяет ему приравнять velocitas totalis к пути. У Орема «на место понятия о скорости, которое только что применялось и которое обозначало интенсивность движения, молчаливо подставляется другое, которое приравнивает per definitionem суммарную скорость—пути» [125, 129; цит по: 23,134].