Земля и космос. От реальности к гипотезе
Шрифт:
Но если мы посмотрим на уравнение 6, то сможем увидеть (предположив, что тело имеет некоторую массу), что при f = 0 адолжно быть равно 0:
0 = m x 0 (уравнение 7).
Отсюда видно, что первый закон механики Ньютона — всего лишь особый случай второго закона Ньютона, а уравнение 6 описывает как первый, так и второй закон движения. Зачем тогда потребовалось формулировать первый закон? Разве Ньютон не видел, что с математической точки зрения это одно и то же? Конечно видел. Причина в том, что, определяя новую картину мира, он должен был сначала отбросить существовавшую прежде систему, и потому психологически важно было показать это первым.
Есть и третий закон механики, также выдвинутый Ньютоном. Этот закон утверждает, что если тело А воздействует с какой-то силой на тело В, то тело В воздействует с точно такой же силой на тело А.
Этот закон обычно называют законом действия и противодействия, хотя это название и не является удачным. Оно создает совершенно неверное впечатление, которое запутало бессчетное число людей.
Слова «действие и противодействие» заставляют думать, что А действует на В и после этого В действует на А. Это выглядит так, словно А берет на себя инициативу, а В только наносит ответный удар вроде самозащиты, после того как его атаковали, — изменение и противодействие изменению, выпад и ответный выпад, первый ход в шахматах и второй ход.
Это может привести к совершенно бесплодным рассуждениям. К примеру, после того, как А действует на В, через какое-то время В действует на А, и, если придумать что-то, чтобы после действия А и перед обратной реакцией В произошла какая-то работа, можно нарушить закон сохранения момента движения или сделать что-то вроде этого.
Проблема состоит в том, что действие и противодействие не существуют независимо. Третий закон следует назвать законом взаимодействия для обоих тел, которые действуют одновременно.
Вместо того чтобы долго доказывать это, я хотел бы пояснить на примере. Предположим, я говорю вам, что закон контакта Азимова гласит: «Если А касается В, то В касается А».
Вы думаете, что А сначала касается В, а лишь позднее В касается А? Вы считаете, что есть маленький, но конечный интервал между тем, как А касается В, и тем, как В касается А? Вы думаете, что вы можете рассматривать касание только лишь А или В? Или же вы должны рассматривать единство двух прикосновений, которые отделить друг от друга невозможно?
Конечно, я уверен, вы пришли к правильному выводу.
Теперь, когда мы знакомы с законами движения, давайте обратимся к силе притяжения, которую Ньютон также рассмотрел в «Principia Mathematica» («Основы математики») и о которой мы говорили в главе 5.
Если мы выпустим мяч из рук, он будет падать вниз с постепенно увеличивающейся скоростью. Другими словами, он будет с ускорением двигаться вниз. Из второго закона механики следует, что ускорение не может существовать без действующей на тело силы. Таким образом, чтобы не нарушать второй закон, необходимо постулировать гравитационную силу в направлении центра Земли, которая действует на любую массу. Чтобы обозначить эту особую силу тяготения, используем букву F.
Если бы сила гравитации была постоянной величиной независимо от природы падающего тела, тогда более массивное тело ускорялось бы меньше (то есть падало бы медленнее), чем массивное. Это наиболее просто выражено в уравнении 2.
Но это не так. Итальянский ученый Галилей примерно за столетие до опубликования «Principia Mathematica» провел эксперименты, убедительно доказывающие, что все тела, какую бы массу они ни имели, ускоряются одинаково во время падения (если мы не берем в расчет сопротивление воздуха).
Ну а если тело А вдвое массивнее тела В, тогда потребуется вдвое большая сила, чтобы заставить его ускоряться до той же величины. Соответственно, если тело А в пять раз массивнее тела В, то для него нужна в пять раз большая сила, чем для тела В, и так далее.
Таким образом, если опыт Галилея правилен, тогда все тела вне зависимости от их массы будут ускоряться при падении одинаково, а гравитационная сила, производимая Землей, — прямо пропорциональна массе падающего тела. Или в виде формулы:
F ~ m(уравнение 8).
Но по третьему закону механики Ньютона, если Земля прикладывает силу, действующую на падающее тело в направлении вниз, то падающее тело прикладывает такую же силу по отношению к Земле.
Это означает, что когда падающее тело получает ускорение вниз, то Земля получает ускорение вверх. Однако Земля является более массивной, чем падающее тело, и ускоряется в значительно меньшей степени. (Я слышу ваши возражения: «Но вы только что сказали, что все тела любой массы ускоряются одинаково». Да, но в ответ на гравитационное воздействие Земли. Все тела любой массы также ускоряются одинаково по отношению к падающему телу — но только по отношению к нему. Одно «одинаково» не совпадает с другим «одинаково».)
Земля настолько массивней падающих тел, которые мы обычно используем, что ускорение Земли по отношению к ним заметить совершенно невозможно. Это несколько запутывает дело, и хорошо, что Ньютон просто отбросил это усложнение: это позволило ему понять, что притяжение — не только свойство Земли, но и свойство всех объектов во Вселенной.
По третьему закону, если Земля притягивает к себе падающие тела, падающие тела должны совершенно так же притягивать Землю. Если сила притяжения зависит от массы падающего тела, это должно также зависеть от массы Земли, поскольку мы не можем дать одной стороне преимущественного положения перед другой. Если мы обозначим массу Земли буквой M, то получается следующее:
F ~ mM(уравнение 9).
Гравитационная сила также зависит от расстояния между телами. Разумно предположить, что чем дальше два тела друг от друга, тем слабее их притяжение друг к другу. Можно доказать, что гравитационная сила пропорциональна расстоянию между падающим телом и Землей. Из принципа симметрии, однако, должно следовать, что гравитационная сила точно так же должна быть пропорциональна между Землей и падающим телом. Ясно, что оба эти расстояния совершенно равны, и если одно из них обозначить через d, то так же можно обозначить и второе расстояние. В этом случае гравитационная сила везде пропорциональна d x d, или d 2, и обратно пропорциональна 1/ d 2. Таким образом: