12 тверских математиков

Воробьев Вячеслав Михайлович

Владимир Модестович отмечает, что за последние 50 лет математическая наука и её практические приложения шагнули далеко вперёд, а школьные задачники делают по части вычислительной культуры весьма робкие шаги, не вносящие заметного улучшения в повышение вычислительной культуры. Причинами застоя, по мнению В.М. Брадиса, являются, во-первых, сила традиций и, во-вторых, недостаточная разработанность научной основы практических приёмов вычислений с приближенными данными. Решением этих проблем В.М. Брадис занялся с первых лет работы в институте. Он тщательно анализирует три выделившихся в теории вычислений направления.

Первое, которое он называет классическим, — вычисление со строгим учётом погрешностей. Оно проявляется в двух видах. 1) способ границ погрешностей, когда указывается предельная, т.е. наибольшая абсолютная или относительная погрешность всякого приближенного значения, и 2) способ границ, когда указывается низшая и высшая граница, между которыми заключено приближенное

число. В методической литературе рассматривается только способ границ погрешностей, в то время как способ границ более прост по идее, строже по существу и имеет применение в научной работе. Им пользовался Архимед (287—212 гг. до н.э.). Он, например, вычислив с большой точностью число ПИ, указал две границы приближенного его значения: 310/71 ПИ <3 1/7. Способ границ погрешностей, теоретически разработанный, в школе применим мало, так как требует, во-первых, значительных дополнительных расчётов и, во-вторых, обоснований используемых теорем, которые доступны учащимся старших классов.

Способ границ вполне доступен учащимся 7-х и даже 6-х классов, но обоснование его совершенно не рассматривается в методической литературе. В силу сказанного ни один из них не может стать основным способом в школьных вычислениях.

Второе направление, которое Владимир Модестович назвал техническим, есть вычисление без строгого учёта погрешностей. Основной его принцип сформулирован академиком А.Н. Крыловым; результат всякого вычисления есть число. Его следует писать так, чтобы по начертанию можно было судить о степени точности; для этого примем за правило писать число так, чтобы в нём все значащие цифры кроме последней были верны, и лишь последняя цифра была бы сомнительной и притом не более, как на одну единицу. Желание выполнить последнее требование принципа приводит к тому, что приходится следить за тем, чтобы абсолютная погрешность каждого приближенного результата была не более единицы разряда последней его цифры. Тогда, в сущности, происходит вычисление со строгим учётом погрешностей. Сам А.Н. Крылов и некоторые другие не следили за буквальным выполнением последнего требования, допуская некоторую неопределённость границы погрешности последней сохраняемой цифры результата. В силу этой неопределённости техническое направление не пользовалось доверием методистов и в школе не применялось.

Третье направление, которое Владимир Модестович назвал геодезическим, основано на теории вероятности. Здесь исследуется не только предельная погрешность приближенного значения, но и вероятности различных значений этих отклонений.

в работах данного направления нет достаточно удобных общих правил, вследствие чего требуются дополнительные усилия, чтобы устанавливать, какие цифры результата каждого действия над приближенными значениями величин следует сохранять.

Детально изучив все три направления, Владимир Модестович Брадис пришёл к выводу, что ни первое, ни третье направление не могут быть основными для постоянно применяемых вычислений в школе. Второе направление — вычисление без строгого учета погрешностей — подкупает простотой практических правил, но не пользуется доверием в силу некоторой их неопределённости. В.М. Брадис решил попытаться дать теоретическое обоснование этим правилам. Обнадёживающим было то обстоятельство, что правила имели успешное применение на практике как самим А.К. Крыловым, так и другими математиками. В 1922 г. В.М. Брадис занялся поисками обоснования. Надо было выяснить, каковы предельные погрешности результатов отдельных действий над приближенными данными с определённым числом цифр, и каково распределение фактических погрешностей результатов. Намеченный путь исследования оказался правильным. Первые итоги исследования были опубликованы в 1923 г. в статье «Приближенные вычисления в школьном курсе математики», напечатанной в сборнике «Вопросы математики и её преподавание» под редакцией И.И. Чистякова и Н.М. Соловьёва (М., 1923). Здесь были рассмотрены смысл, методика и преимущества способа границ погрешностей и обоснован способ вычисления по правилам, которые В.М. Брадис назвал «правилами подсчёта цифр», а следовало бы их называть «правилами Брадиса». Было показано, что они вполне приемлемы для учащихся средних школ и полностью ликвидируют «нелепые хвосты ненужных цифр» при решении задач, взятых из жизни.

Более глубокое исследование вопроса о предельных погрешностях и распределении фактических погрешностей результатов действий сложения, умножения, возведения в квадрат и в куб и обратных им действий было дано Владимиром Модестовичем в двух теоретических работах: «Умножение приближенных чисел» в 1925 г. и «Опыт обоснования некоторых практических правил действия над приближенными числами» в 1927 г. Они вполне подтвердили целесообразность правил подсчёта цифр, сформулированных в 1923 г.

Две последние работы представляют собой результат основного исследования В.М. Брадиса, явившийся итогом большого труда. В последней статье на основе теоретико-вероятностных методов даётся обоснование правилам численных расчётов с приближенными данными при нестрогом учёте погрешностей, ранее интуитивно полученных различными вычислителями,

в частности А.Н. Крыловым. На основе проделанной работы формулируется принцип записи результатов действий в предположении, что погрешность каждого приближенного компонента не превосходит полуединицы разряда последней его цифры, и что все значения этой погрешности равновероятны. Этот принцип состоит в следующем: приближенное число надо писать так, чтобы в нём все значащие цифры кроме последней были верны, и лишь последняя цифра была бы сомнительной, и притом «в среднем», не более как на одну единицу. Доказано, что чем больше погрешность, тем меньше вероятность её появления. Термин «в среднем» понимается в том смысле, что речь здесь идёт не о границах погрешности, а о средней квадратической погрешности, т.е. о корне квадратном из среднего значения квадрата погрешности. В формулировке принципа записи результата действий над приближенными данными, предложенной академиком A.Н. Крыловым, отсутствует термин «в среднем». В.М. Брадис доказал, что необходима указанная выше поправка. А.Н. Крылов приветствовал это исследование Владимира Модестовича.

Обосновав правила подсчёта цифр, уверенный в их целесообразности и приемлемости для школьных вычислений, B.М. Брадис не считает свою работу завершённой и приступает к пропаганде правил. Учёный систематически, с изумительной настойчивостью, присущей ему, и убеждённостью в необходимости этого дела выступает с докладами, пишет статьи и учебники для студентов педагогических институтов, книги для учителей, учебники и пособия для учащихся средних школ. Он публикует свои работы в Москве, Ленинграде, Калинине, Казани. Его исследования и выводы, методические рекомендации помещены в журналах «Математика в школе», «Просвещение», в методических сборниках, в «Известиях» и «Учёных записках» институтов, в «Научных трудах» математических кафедр, в БСЭ, в «Энциклопедии элементарной математики» и в других изданиях. В учебнике «Четырёхзначные математические таблицы» для учащихся средней школы, начиная с 3-го издания в 1930 г., содержится текст восьми правил подсчёта цифр. Этот учебник получил очень широкое распространение, а вместе с ним — и правила подсчёта цифр. Он издан во многих советских республиках, в некоторых странах народной демократии и в капиталистических странах, например в Японии. Пропагандируя правила подсчёта цифр как основные для школьных вычислений, В.М. Брадис всегда подчеркивал, что последняя цифра получаемых при их применении результатов может иметь погрешность довольно значительную, но вероятность больших значений погрешности мала: чем больше погрешность, тем реже она встречается. Если по характеру вопроса такая неопределённость недопустима, то надо провести вычисление по способу границ. Способ границ впервые рассмотрен в научной литературе В.М. Брадисом. Он не требует теоретического обоснования и в силу простоты доступен учащимся. Учительство, получив убедительное разъяснение смысла способа границ, выполненное авторитетным учёным, теперь может его применять, не сомневаясь в научности метода.

Правила подсчёта цифр, предложенные В.М. Брадисом в 1923 г., встретили лестную оценку со стороны ГУУЗа, и в 1927 г. были включены в программу математики для школ 2-й ступени. Через некоторое время они были изъяты, так как преподаватели не имели соответствующей подготовки.

В 1960 г. вновь в программу школьной математики включена тема «Приближенные вычисления», отдельные вопросы которой рассматриваются начиная с 5-го класса. Тем самым пришло признание необходимости и полезности огромного труда В.М. Брадиса.

Правила подсчёта цифр Брадиса в 30-е гг. получили одобрение со стороны астронома М.Ф. Субботина, академика В.И. Романовского — специалиста по теории вероятностей и математической статистике, профессора Ленинградского электротехнического института А.Ф. Гаврилова, академика А.Н. Крылова и др. Постепенно растёт признание правил подсчёта цифр: они применяются не только в области теоретических расчётов, но проникают в различные отрасли. Это обстоятельство подчёркивает большое практическое значение научно-исследовательских работ, проводимых В.М. Брадисом в области совершенствования численных расчетов.

Следует отметить, что далеко ещё не все, имеющие отношение к преподаванию математики, ясно понимают вероятностный смысл правил Брадиса. Следствием этого являются многие недоразумения, возникающие в процессе изучения теории приближенных вычислений в школе. Дискуссия по этому вопросу, проведённая журналом «Математика в школе» в 1964 г., показала, что есть преподаватели-математики, предъявляющие к правилам подсчёта цифр такие требования, на которые эти правила не рассчитаны, и от которых В.М. Брадис предостерегает.

В работах указанного направления В.М. Брадис уделяет большое внимание вычислительной схеме. Так называется разметка приготовленного для записи листа бумаги, при которой каждое входящее в вычисление число записывается в особом, заранее для него отведённом месте. Выгода схемы заключается в механизации вычислительного процесса. Хорошо составив схему, вычислитель в дальнейшем освобождается от всякой работы по обдумыванию хода вычислений. Вторая выгода схемы — лёгкость контроля произведённого вычисления, как самим вычислителем, так и другими лицами.