А ну-ка, догадайся!
Шрифт:
М-р Марк. Если бы в клетке была только одна кость, названное мной число выпадало бы только 1 раз из 6. Если бы в клетке было две кости, то названное ло выпадало бы в 2 случаях из 6.
А поскольку в клетке три игральные кости, то названное число должно выпадать в 3 случаях из 6. Шансы на выигрыш и на проигрыш равны!
М-р
А если пятерка выпадет на трех костях, то я выиграю 3 доллара.
Игра явно должна идти в мою пользу.
Если все посетители игорных домов думают так же, как и мистер Марк, то не приходится удивляться, что владельцы игорных домов становятся миллионерами!
Почему при игре «Чак-э-лак» игорный дом имеет значительно большие шансы на выигрыш, чем мистер Марк?
В «Чак-э-лак» играют во многих игорных домах в США и других странах. В Англии эта игра стала называться «Птичья клетка». Иногда в нее играют тремя костями, на гранях которых вместо точек по числу очков изображены туз бубен, туз треф, туз пик, туз червей, корона и якорь, в этом случае игру называют «Корона и якорь».
На ярмарках зазывалы обычно выкрикивают: «За один раз три выигрыша и три проигрыша!» У посетителей создается впечатление, что игра «Чак-э-лак» честная: ни одна из сторон не имеет преимущества перед другой стороной. Игра действительно была бы честной, если бы на костях всегда выпадало различное число очков. После каждого поворота клетки банкомет забирал бы 3 доллара у трех проигравших и выплачивал бы 3 даллара трем выигравшим (если на каждое число очков игроки ставят по 1 доллару).
К счастью для банкомета, одно и то же число очков часто выпадает на двух или трех костях. Если одно и то же число очков выпадает на двух костях, то банкомет забирает у проигравших 4 доллара и выплачивает выигравшим 3 доллара, извлекая прибыль в 1 доллар. Если одно и то же число очков выпадает на трех костях, то банкомет забирает у проигравших 5 долларов и выплачивает выигравшему 3 доллара, извлекая прибыль в 2 доллара. Итак, числа, выпадающие одновременно на двух и трех игральных костях, составляют истинную основу благосостояния игорного дома.
Вычислить прибыль, которую приносит игорному дому игра «Чак-э-лак», по формулам — дело довольно хитрое. Проще всего составить полный список всех 216 возможных исходов бросания 3 игральных костей и убедиться, что в 120 случаях на трех костях выпадает 134 различное число очков, в 90 случаях одно и то же число выпадает на двух костях и в 6 случаях — на трех костях. Предположим, что игорный дом провел серию из 216 партий в «Чак-э-лак», причем во всех 216 случаях исходы бросания трех костей были различными. В каждой партии 6 людей поставили по 1 доллару на каждое из 6 чисел. Следовательно, банкомет собрал ставок на общую сумму 210х6 = 1296 долларов. В тех случаях, когда на всех трех костях выпало различное число очков, он выплатил 120х6 = 720 долларов. В тех случаях, когда на двух костях выпало по одинаковому числу очков, банкомет выплатил 90х2 = 180 долларов тем, кто угадал число очков на третьей кости (неповторяющееся), и 90х3 = 270 долларов тем, кто угадал число очков, выпавшее на двух костях. Наконец, в тех случаях, когда одно и то же число очков выпало на трех костях, банкомет выплатил 6х4 = 24 доллара. Таким образом, всего банкомет выплатил 1194 доллара.
Прибыль игорного дома составила 102 доллара, или 102/1296 = 1,078…, то есть более 7,8 %. Это означает, что в длинной серии игр в среднем игрок теряет около 7,8 цента на каждый поставленный им доллар.
А каковы шансы на выигрыш при одном бросании?
Если кости выкрашены в различные цвета, например одна в красный, другая в зеленый, а третья в синий цвета, то 1 очко на красной кости при любом числе очков на двух остальных костях может выпасть 36 различными способами. В 30 случаях число очков на красной кости отлично от 1, на зеленой кости равно 1, на синей кости — любое. Наконец, в 25 случаях число очков на красной и на зеленой костях отлично
У одной дамы было два попугая. Однажды гость спросил ее:
Гость. Один из попугаев самец?
Хозяйка. Да.
Какова вероятность того, что оба попугая самцы? Эта вероятность равна 1/3.
Предположим, что гость спросил даму, указывая на клетку с темным попугаем:
Гость Это самец?
Хозяйка. Да
На этот раз вероятность того, что оба попугая самцы повышается до 1/2. Странно! Почему вопрос, заданный о птице с темным оперением, так сильно сказывается на вероятности?
Парадокс легко решается, если выписать все возможные случаи.
Если гость знает, что один из попугаев самец, то возможны три случая. Только в одном из них оба попугая самцы Следовательно, вероятность того, что оба попугая самцы, составляет 1/3. (Мы предполагаем, что в каждой клетке с равной вероятностью может оказаться как самец, так и самка.)
Но если гость знает, что темный попугай самец, то возможны лишь 2 случая. Только в одном из них оба попугая самцы. Следовательно, вероятность того, что оба попугая самцы, составляет 1/2.
Задачу с попугаями можно промоделировать, попросив кого-нибудь бросить 2 монеты различного достоинства и высказать некоторые утверждения относительно исходов бросаний. Бросающий может избрать одну из нескольких процедур.
1. Если выпадут два «орла», заявить: „По крайней мере одна монета выпала вверх «орлом»". Если выпадут две «решки», заявить: „По крайней мере одна монета выпала вверх «решкой»". Если одна монета выпадет вверх «орлом», а другая — вверх «решкой», заявите «По крайней мере одна монета выпала вверх…» и дальше по своему усмотрению сказать либо «орлом», либо «решкой». Какова вероятность, что обе монеты выпали вверх той стороной, которую назвал бросающий?
Ответ: 1/2.
2. Бросающий монеты заранее предупреждает, что заявит: „По крайней мере одна монета выпала вверх «орлом»" только при условии, если это действительно так. Если ни одна монета не выпадет вверх «орлом», он промолчит и бросит монеты еще раз. Какова вероятность, что обе монеты выпали вверх «орлом»?
Ответ: 1/3. (На этот раз исход, когда обе монеты выпадают вверх «решками», исключается из рассмотрения, так как при таком исходе бросающий промолчит.)
3. Бросающий монеты заранее предупреждает, что объявит о том, какой стороной вверх выпадет монета меньшего достоинства, независимо от того, будет ли это «орел» или «решка». Какова вероятность того,» что обе монеты выпадут вверх одной и той же стороной?
Ответ: 1/2.
4. Бросающий монеты заранее предупреждает, что заявит: „По крайней мере одна монета выпала вверх «орлом»" только в том случае, если вверх «орлом» выпадет монета меньшего достоинства. Какова вероятность того, что обе монеты выпали вверх «орлами»?