А ну-ка, догадайся!
Шрифт:
Принцип безразличия имеет долгую и славную историю. Его применяли в столь разных областях человеческого знания, как естествознание, этика, статистика, экономика, философия, психология. При неправильном применении этот принцип приводит к парадоксам и прямым логическим противоречиям. Французский астроном и математик Лаплас однажды, воспользовшись принципом безразличия, вычислил вероятность того, что завтра утром взойдет солнце, и получил 1826214:1!
Посмотрим, какие противоречия возникают, если воспользоваться принципом безразличия при ответах на вопросы о жизни на Титане. Какова вероятность того, что на Титане есть жизнь? Применив принцип безразличия, мы получим, что эта вероятность равна 1/2. Какова вероятность того, что на Титане нет простейших растений? И на этот вопрос принцип безразличия дает ответ: 1/2. Какова
В приведенном выше примере к абсурдным результатам принцип безразличия приводит в сочетании с некоторым дополнительным допущением. Мы молчаливо предполагали, что события, заведомо не являющиеся независимыми, независимы. В свете теории эволюции вероятность существования разума на Титане зависит от существования на нем низших форм жизни.
Приведем еще один поучительный пример неосторожного применения принципа безразличия — парадокс со спрятанным кубом. Предположим, что вам сообщили: «В кладовке спрятан куб с длиной ребра от 2 до 4 см». Поскольку у вас нет оснований предполагать, что длина ребра куба меньше или больше 3 см, вам лучше всего принять ее равной 3 см. А каков объем спрятанного куба? Он должен быть заключен в пределах от 23 = 8 до 43 = 64 см3. Поскольку у вас нет оснований считать, что объем куба меньше или больше 36 см3, вам лучше всего принять его равным 36 см3. Иначе говоря, по вашим лучшим оценкам, ребро куба имеет длину 3 см, а объем куба составляет 36 см3. Странный какой-то куб, вы не находите?
Иначе говоря, применив принцип безразличия к оценке длины ребра спрятанного куба, вы получаете куб с длиной ребра 3 см и с объемом 27 см3. Применив тот же принцип к оценке объема куба, вы получите куб объемом 36 см3 и длиной ребра, равной (36)1/3 примерно = 3,30 см.
Парадокс с кубом — хорошая модель для демонстрации того, с какими трудностями могут столкнуться физик или статистик, оценивая некую величину по ее максимуму и минимуму и считая, что истинное значение величины, вероятнее всего, лежит посредине между максимумом и минимумом.
Принцип безразличия на вполне законном основании применяется в теории вероятностей, но лишь в тех случаях, когда симметрия ситуации служит объективным основанием для принятия гипотезы о равенстве вероятностей. Например, монета геометрически симметрична: между аверсом и реверсом монеты вы можете провести плоскость симметрии. Монета физически симметрична: ее плотность постоянна по всему объему, иначе говоря, ни лицевая, ни оборотная сторона не имеет перевеса. Силы, действующие на подброшенную монету в воздухе — сила тяжести, давление воздуха и т. д., — симметричны: они не выделяют ни одну из сторон. Следовательно, мы можем с полным основанием считать, что вероятности выпадения «орла» и «решки» равны. Аналогичные соображения симметрии применимы и к шести граням кубической игральной кости, и к 38 ямкам на колесе рулетки.
В каждом из этих случаев обширные эксперименты, проводившиеся в игорных домах и казино, показали правильность и пределы применимости соображений симметрии. В тех случаях, когда симметрия заранее не известна и может даже не существовать, применение принципа безразличия нередко приводит к абсурдным результатам.
5. СТАТИСТИКА
Парадоксы о сериях, воронах и зелубом цвете
Статистика, занимающаяся сбором, обработкой и анализом численной информации, приобретает все большее значение в сложном современном мире. На нас обрушиваются потоки информации — от сведений о состоянии экономики
Эту главу отнюдь не следует рассматривать как популярное введение в статистику. Прочитав ее, вы не усвоите даже ее элементарных основ. Перед вами выборка красочных парадоксов Буду рад, если, ознакомившись с ними, вы захотите узнать побольше об их математической подоплеке.
Открывается глава историей, в которой вводятся три фундаментальных понятия статистики: среднее, медиана и мода. За ней следуют несколько необычных примеров неправильного использования данных — великого искусства «лгать» с помощью статистики. Они должны насторожить вас и тем самым помочь вам избежать некоторых подводных камней, встречающихся на пути всякого, кому приходится пользоваться статистическими данными.
Всякого рода удивительные совпадения утрачивают свою таинственность в свете теории вероятностей и математической статистики. Взять хотя бы знаменитый парадокс с днями рождения. Среди случайно выбранной группы из 23 человек с вероятностью чуть большей, чем 1/2, найдутся по крайней мере двое людей, родившихся в один день и в один месяц! Если выбрать наугад группу из 40 человек, то вероятность совпадения возрастет до 9/10. Первая реакция на подобные столкновения — полное недоверие. Затем заядлые скептики подвергают сообщение эмпирической проверке либо путем опроса 40 знакомых, либо по 40 наугад выбранным фамилиям из биографического справочника. Третья стадия наступает, если вам захочется узнать, какая математика кроется за этим парадоксом, чтобы понять причины совпадений.
Именно в этом смысле собранные в этой главе парадоксы можно рассматривать как волшебные ступени, ведущие к серьезной математике.
В этой главе вы найдете описания нескольких карточных фокусов, в которых удивительные на первый взгляд совпадения находят естественное объяснение в рамках простых математических законов. Парадокс с выборами — одна из наиболее известных противоречащих интуиции теорем теории решений — нового раздела математики, занимающегося изучением методов принятия рациональных решений на основе статистической информации. История о Мери Лоунлихартс представляет собой беллетризованный вариант другого, не менее поразительного, но малоизвестного парадокса.
Завершается глава двумя парадоксами, которые обычно наиболее широко обсуждаются: парадоксом о вороне и парадоксом о странном свойстве быть «зелубым». Оба парадокса показывают, сколь важную роль играет статистика при оценке степени правдоподобия научных гипотез.
Фирма «Гисмо продактс» владеет небольшой фабрикой по производству супергисмо.
В правление фирмы входят мистер Гисмо, его брат и 6 родственников. Рабочая сила состоит из 5 бригадиров и 10 рабочих. Дела на фабрике идут хорошо, и правление решило нанять еще одного рабочего.
Мистер Гисмо беседует с Сэмом, пришедшим справиться об условиях работы.
М-р Гисмо. Мы платим хорошо. Средний заработок — 600 долларов в неделю. За время обучения вы будете получать сначала по 150 долларов в неделю, но довольно быстро последует надбавка.