Чтение онлайн

на главную

Жанры

А ну-ка, догадайся!

Гарднер Мартин

Шрифт:

Более радикальное решение состоит в том, чтобы запретить в теории множеств рассматривать множества, содержащие себя.

Астролог, робот и каталог

Что вы скажете об астрологе, составляющем гороскопы тем и только тем астрологам, которые не составляют себе гороскопов сами? Кто составляет гороскоп такому астрологу?

Что

вы скажете о роботе, ремонтирующем те и только те роботы, которые не ремонтируют себя сами? Кто ремонтирует такой робот?

А что вы скажете о каталоге, содержащем сведения о тех и только тех каталогах, которые не включают ссылок на самих себя? В каком каталоге можно найти ссылку на такой каталог?

Все это — различные варианты парадокса Рассела.

В каждом случае множество S по определению содержит те и только те объекты, которые не находятся в определенном отношении R к себе. Парадокс становится очевидным при попытке ответить на вопрос, принадлежит ли множество S самому себе. Приведем еще три классические вариации на эту тему.

1. Парадокс Греллинга назван в честь открывшего его немецкого математика Курта Греллинга. Разделим все прилагательные на два множества: самодескриптивные, обладающие тем свойством, которое они выражают, и несамодескриптивные. Такие прилагательные, как «многосложное», «русское» и «видимое», принадлежат к числу самодескриптивных, а такие прилагательные, как «односложное», «немецкое» и «невидимое», — к числу несамодескриптивных. К какому из двух множеств принадлежит прилагательное «несамодескриптивнсе»?

2. Парадокс Берри назван в честь библиотекаря Оксфордского университета Дж. Дж. Берри, который сообщил его Расселу. В парадоксе Берри речь идет о «наименьшем целом числе, которое не может быть задано менее чем тринадцатью словами». Выражение, взятое в кавычки, содержит 12 слов. Какому множеству принадлежит определяемое им выражение: множеству целых чисел, которые на русском языке задаются менее чем 13 словами, или множеству целых чисел, задаваемых на русском языке 13 и более словами? Любой из двух ответов приводит к противоречию.

3. Философ Макс Блэк сформулировал парадокс Берри примерно так. В этой книге упоминаются различные целые числа. Сосредоточим наше внимание на наименьшем целом числе, которое ни прямо, ни косвенно не упоминается в этой книге. Существует ли такое число?

Скучные или интересные?

Одни люди интересные, другие скучные.

Футболист. Я лучший нападающий США.

Музыкант. Я умею играть на гитаре ногами.

М-р

Скучмен.
Я ничего не умею.

Мы составили два списка. В один внесли всех скучных людей, в другой — всех интересных людей.

Где-то в списке скучных людей числится самый скучный человек в мире.

Но именно этим он и интересен, поэтому мы должны вычеркнуть его из списка скучных людей и занести в список интересных людей.

М-р Скучмен. Благодарю вас. Но теперь в списке скучных людей где-то затерялся самый скучный человек среди оставшихся, который этим и интересен. Так постепенно каждый скучный человек станет интересным. Станет ли, как вы думаете?

Этот забавный парадокс представляет собой вариант «доказательства» того, что каждое положительное целое число чем-то интересно. Впервые оно было опубликовано Эрвином Ф. Бекенбахом в заметке «Интересные целые числа» в апрельском номере журнала American Mathematical Monthly за 1945 г.

Верно ли такое «доказательство» и не таит ли оно в себе логической ошибки? Не перейдет ли снова в разряд скучных человек, чье имя было первым включено в список интересных людей и вычеркнуто из списка скучных людей после того, как список интересных людей пополнится вторым среди самых скучных людей? Можно ли придать какой-то смысл утверждению о том, что каждый человек интересен, поскольку он является самым скучным из людей, образующих определенные множества, подобно тому как каждое целое число является наименьшим числом в определенных множествах чисел? Если все люди (или числа) интересны, то не утрачивает ли от этого смысл прилагательное «интересный»?

Семантика и теория множеств

Парадоксы, связанные со значениями истинности, называются семантическими, парадоксы, связанные с множествами каких-то объектов, — теоретико-множественными. Оба типа парадоксов тесно связаны.

Соответствие между семантическими и теоретико-множественными парадоксами проистекает из того, что любое истинное или ложное утверждение можно представить в виде некоего утверждения о множествах и наоборот. Например, утверждение «Все яблоки красные» означает, что множество всех яблок содержится в множестве всех красных предметов. На языке высказываний, относительно которых можно утверждать, что они истинны или ложны, это переводится так: «Если верно, что х — яблоко, то верно, что х красного цвета».

Рассмотрим утверждение парадокса лжеца «Это утверждение ложно». В переводе на теоретико-множественный язык оно звучит так: «Это утверждение есть элемент множества всех ложных утверждений».

Если «это» утверждение действительно принадлежит множеству всех ложных утверждений, то то, о чем оно говорит, — правда и, следовательно, оно не может принадлежать множеству всех ложных утверждений.

Если же утверждение парадокса лжеца не принадлежит множеству ложных утверждений, то то, о чем оно говорит, — неправда и, следовательно, оно должно принадлежать множеству всех ложных утверждений.

Поделиться:
Популярные книги

Кодекс Крови. Книга III

Борзых М.
3. РОС: Кодекс Крови
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Крови. Книга III

Его темная целительница

Крааш Кира
2. Любовь среди туманов
Фантастика:
фэнтези
5.75
рейтинг книги
Его темная целительница

Восход. Солнцев. Книга VIII

Скабер Артемий
8. Голос Бога
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Восход. Солнцев. Книга VIII

Сумеречный стрелок 6

Карелин Сергей Витальевич
6. Сумеречный стрелок
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Сумеречный стрелок 6

Герой

Бубела Олег Николаевич
4. Совсем не герой
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
9.26
рейтинг книги
Герой

Студент из прошлого тысячелетия

Еслер Андрей
2. Соприкосновение миров
Фантастика:
героическая фантастика
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Студент из прошлого тысячелетия

Книга пяти колец. Том 4

Зайцев Константин
4. Книга пяти колец
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Книга пяти колец. Том 4

Кодекс Крови. Книга IХ

Борзых М.
9. РОС: Кодекс Крови
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Крови. Книга IХ

Генерал-адмирал. Тетралогия

Злотников Роман Валерьевич
Генерал-адмирал
Фантастика:
альтернативная история
8.71
рейтинг книги
Генерал-адмирал. Тетралогия

Гарем вне закона 18+

Тесленок Кирилл Геннадьевич
1. Гарем вне закона
Фантастика:
фэнтези
юмористическая фантастика
6.73
рейтинг книги
Гарем вне закона 18+

Сколько стоит любовь

Завгородняя Анна Александровна
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
6.22
рейтинг книги
Сколько стоит любовь

Девяностые приближаются

Иванов Дмитрий
3. Девяностые
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
7.33
рейтинг книги
Девяностые приближаются

Рота Его Величества

Дроздов Анатолий Федорович
Новые герои
Фантастика:
боевая фантастика
8.55
рейтинг книги
Рота Его Величества

Идеальный мир для Лекаря 13

Сапфир Олег
13. Лекарь
Фантастика:
фэнтези
юмористическое фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря 13