Алиса в стране математики

Генденштейн Лев Элевич

По крайней мере так казалось древним грекам. Более того, они были в этом совершенно уверены! Ведь они считали, что целые числа лежат в основе всего мироздания — помните слова Пифагора: «число есть начало всех вещей»?

И надо же: случилось так, что именно Пифагор открыл, что это неверно! Из знаменитой теоремы Пифагора, которую изучают сегодня во всех школах, следовал поразительный вывод: если сторону квадрата принять за единицу, то диагональ этого же квадрата измерить точно невозможно, потому что не существует таких долей единицы, которые укладываются на диагонали целое число раз, какими

бы малыми ни были эти доли!

Открытие Пифагора заставило учёных задуматься: можно ли делить отрезок на всё меньшие и меньшие части без конца? Через две тысячи лет эти размышления привели к великим открытиям, о которых мы скоро расскажем.

НЕБЫЛИЦА О ПИФАГОРЕ, КОТОРУЮ ТРУДНО ОТЛИЧИТЬ ОТ БЫЛИ

Говорят, что Аполлона Он любимым сыном был, Что всю мудрость Вавилона Он познал, когда там жил, Что он слышал, как планеты Песнь поют в тиши ночей, Что учил он: числа — это Есть начало всех вещей, Что медведицу словами Мог он перевоспитать, Мог беседовать с быками, Сны надёжно толковать, Что в пещере целый месяц Он совсем один прожил, Что любил число он десять, А семнадцать — не любил, Что остановить он речью Мог разбег морских валов, Что река ему навстречу Поднялась из берегов... Где тут быль, где небылица — Неизвестно до сих пор. Но в преданьях говорится, Что таков был Пифагор.

КАК СЪЕСТЬ ЦЕЛЫЙ ТОРТ?

Шляпник сразу же стал вытаскивать блюдо с тортом из-под Сони. Однако Заяц вцепился в блюдо с другой стороны и стал тянуть в противоположную сторону. Блюдо рывками ездило по столу туда-сюда, и всё это время Соня сквозь сон быстро ел торт. Наблюдая эту сцену, Алиса смеялась до слёз.

Когда Шляпнику удалось, наконец, вырвать блюдо, оно было таким чистым, будто на нём никогда и не бывало шоколадного торта! Зато Соня был весь в шоколаде и сладко облизывался, продолжая спать.

Шляпник посмотрел на пустое блюдо и увидел в нём себя — полированное блюдо отражало, как зеркало!

— Привет, дружище! — приподняв цилиндр, обратился Шляпник к своему отражению, и оно ответило ему тем же. — Теперь ты застрял тут надолго — может быть, навсегда: похоже, что шесть часов так и не наступят...

— Мне кажется, шесть часов тут ни при чём, — вмешалась Алиса в разговор Шляпника с его отражением. — Ведь для того, чтобы наступил любой момент времени, должны пройти все предыдущие моменты, а их бесконечно много...

— В том-то и дело! — подхватил Шляпник. — В одной только секунде и то бесконечно много моментов! Как же они все могут пройти?

— Но время всё-таки идёт... — попыталась возразить Алиса.

— Оно стоит! — вскричал Шляпник, показывая на часы. — Разве ты не видишь, что оно стоит?

— А Соне всё-таки достался целый торт одному! — в наступившей тишине заметил Заяц.

— Как ты можешь думать о каком-то торте, когда время остановилось! — упрекнул его Шляпник.

И тут у Алисы родилась удивительная мысль.

— Если бы время остановилось из-за того, что в любом промежутке бесконечно много моментов, Соня не смог бы съесть весь торт! — воскликнула она.

— Ты шутишь? — печально спросил Шляпник. — При чём здесь торт?!

— Когда Соня ел торт, — начала объяснять Алиса, — он должен был сначала съесть половину торта, потом половину оставшейся половины, потом — половину половины половины... и у него всегда должно было что-то оставаться — ведь делить пополам можно без конца!

— Это и правда похоже чем-то на последний момент! — оживился Шляпник.

— Но Соня съел торт до конца! — напомнил Заяц, показывая на сверкающее блюдо.

— До конца... — задумчиво подтвердил Шляпник и посмотрел на блюдо с обеих сторон. — Как же у него это получилось? — спросил он у своего отражения, но оно ответило ему тем же вопросом. — Послушай! — толкнул он Соню. — Как ты ухитрился съесть весь торт?

Соня приоткрыл один глаз, но ничего не ответил.

Тогда Заяц взял чайную ложку, обмакнул её в вазочку с вареньем и начал старательно писать что-то вареньем на скатерти. Он писал в одну строку, и эта строка становилась всё длиннее и длиннее.

Какое-то время Шляпник молча наблюдал за Зайцем, но, наконец, не выдержал:

— Что ты делаешь? — крикнул он. — Это же последнее варенье!

Но Заяц был так увлечён, что ничего не слышал: он встал со своего места, взял вазочку с вареньем и, продолжая писать, пошёл вдоль стола. Время от времени он поднимал голову и, шевеля губами, что-то считал.

Алиса подошла к Зайцу и увидела, что он написал:

— Что это вы складываете? — спросила Алиса.

— Я хочу узнать, сколько Соня съел, — объяснил Заяц, не отрываясь от писания. — Он съел половину торта, потом еще четверть, потом одну восьмую, потом — одну шестнадцатую...

— Так записываются дробные числа! — догадалась Алиса. — Но ведь вы же никогда не допишете эту сумму до конца! — воскликнула она. — У этой суммы нет конца, потому что делить пополам можно без конца!

— А как же тогда Соня съел торт до конца? — недоверчиво спросил Заяц.

— Соня съедал каждую следующую часть вдвое быстрее, — подумав, сказала Алиса, — потому что каждая следующая часть вдвое меньше, чем предыдущая!

— А я, наоборот, на каждое новое слагаемое трачу всё больше и больше времени, — вздохнул Заяц, утирая лапкой пот со лба. — Ведь в числителе каждой дроби единица, а знаменатели становятся всё больше и больше...

— Поразительно! — воскликнул Шляпник, тоже подойдя к Зайцу. — Чем меньше число, тем дольше приходится его писать — я бы никогда в это не поверил!