Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной
Шрифт:
Заниматься прикладной математикой [10] – значит смотреть вовне и быть «интеллектуально неразборчивым». Для специалистов в этой области математика не чистый и герметичный мир теорем и доказательств [11] , отражающих самих себя. Мы охватываем все виды предметов: философию, политику, историю, медицину и так далее. Именно такую историю я и собираюсь вам рассказать – мир, соответствующий анализу.
Это гораздо более широкий взгляд на анализ. Он включает множество родственных дисциплин, как смежных, так и в рамках математики. Поскольку такой широкий взгляд непривычен, я хочу убедиться, что он не вызывает никакой путаницы. Например, когда я говорил, что без анализа у нас не было бы компьютеров, мобильных телефонов и так далее, я вовсе не имел в виду, что именно математика сама по себе создала все эти чудеса. Отнюдь нет. Наука и технология были важными партнерами – возможно, главными звездами шоу. Я просто хочу сказать, что анализ также сыграл не последнюю роль (пусть часто и вспомогательную) в том, чтобы мир стал таким, каким мы его знаем.
10
Stewart, In Pursuit of the Unknown; Higham et al., The Princeton Companion;
11
Kline, Mathematics in Western Culture, и Newman, The World of Mathematics, соединяют математику с более широкой культурой. Я провел много времени в старших классах, читая эти два шедевра.
Возьмем историю беспроводной связи. Все началось с открытия законов электричества и магнетизма [12] такими учеными, как Майкл Фарадей и Андре-Мари Ампер. Без их наблюдений и размышлений важнейшие факты о магнитах, электрическом токе и их невидимых силовых полях остались бы неизвестными и никогда бы не появилась беспроводная связь. Очевидно, что в этой области знаний нельзя было обойтись без экспериментальной физики, но и анализ был совершенно необходим. В 1860-х годах шотландский математик Джеймс Максвелл выразил экспериментальные законы электричества и магнетизма в символьной форме, которую можно было изучать методами математического анализа. После некоторых манипуляций появилось уравнение, которое не имело смысла. Судя по всему, в физике чего-то не хватало. Максвелл подозревал, что виноват закон Ампера, и попытался внести исправления, добавив в уравнение новый член – гипотетический ток, который мог бы разрешить противоречие, а затем снова применил анализ. На этот раз получился разумный результат – простое и элегантное волновое уравнение [13] , очень похожее на уравнение, описывающее распространение ряби в пруду. Разница была в том, что результат Максвелла давал новый вид волн, где электрические и магнитные поля вместе исполняли па-де-де. Изменяющееся электрическое поле порождает изменяющееся магнитное поле, которое, в свою очередь, снова порождает изменяющееся электрическое поле, и так далее – поля влияют друг на друга и распространяются вместе в виде энергетической волны. Вычислив скорость этой волны, Максвелл обнаружил – и это был один из величайших моментов в истории науки, – что она распространяется со скоростью света. Таким образом, с помощью анализа он не только предсказал существование электромагнитных волн, но и решил вековую загадку природы света. Он пришел к выводу, что свет – это электромагнитная волна.
12
О математике и физике смотрите Maxwell, On Physical Lines of Force, и Purcell, Electricity and Magnetism. О понятиях и истории смотрите Kline, Mathematics in Western Culture, 304–21; Schaffer, The Laird of Physics; и Stewart, In Pursuit of the Unknown, глава 11. Биографию Максвелла и Фарадея смотрите в книге: Forbes and Mahon, Faraday, Maxwell.
13
Stewart, In Pursuit of the Unknown, глава 8.
Предсказания Максвелла об электромагнитных волнах побудили Генриха Герца провести в 1887 году эксперимент, который подтвердил их существование. Восемь лет спустя Александр Попов продемонстрировал первую в мире систему радиосвязи, а еще пару лет спустя это сделал и Никола Тесла. Еще через пять лет Гульельмо Маркони передал первые беспроводные сообщения через Атлантику. Вскоре появилось телевидение, мобильные телефоны и все остальное.
Ясно, что анализ не смог бы привести к этому в одиночку, но так же ясно, что без него ничего бы этого не произошло. Или, если точнее, могло бы произойти, но гораздо позже.
История Максвелла иллюстрирует тему, с которой мы встретимся еще не раз. Часто говорят, что математика – это язык науки. В этом есть значительная доля правды. В случае электромагнитных волн первым ключевым шагом Максвелла стало преобразование экспериментально открытых законов в уравнения, написанные на языке анализа.
Однако аналогия с языком неполна. Анализ, как и другие области математики, – нечто гораздо большее, чем просто язык. Это невероятно мощная система мышления, позволяющая нам преобразовывать одно уравнение в другое, выполняя различные символьные операции, подчиняющиеся определенным правилам. Эти правила коренятся в логике, так что, даже если кажется, что мы просто перетасовываем символы, на самом деле мы выстраиваем длинные цепочки логических рассуждений. Перемещение символов – это полезные сокращения, удобный способ строить доказательства, слишком сложные, чтобы удерживать их в голове.
Если нам повезет и мы будем достаточно умелыми – то есть правильно преобразуем уравнения, – то можем получить скрытые доселе следствия. Математику этот процесс кажется почти осязаемым. Словно мы манипулируем уравнениями, массируем их, пытаясь расслабить до такой степени, чтобы они выдали свои секреты. Мы хотим, чтобы они открылись и поговорили с нами.
Здесь требуется творческий подход, потому что часто неясно, какие манипуляции выполнять. У Максвелла было бесчисленное количество способов преобразовать его уравнения; с логической точки зрения приемлемы были все, но новый интересный научный результат давали лишь некоторые. Учитывая то, что он даже не знал, что ищет, он мог легко получить от уравнений всего лишь бессвязное бормотание (или его символьный эквивалент). К счастью, уравнения раскрыли свои секреты.
В результате правильного подхода волновое уравнение не осталось абстракцией. В этот момент лингвистическая функция матанализа снова взяла верх. Когда Максвелл перевел абстрактные символы обратно в реальность, они предсказали, что электричество и магнетизм взаимодействуют, создавая электромагнитные волны, распространяющиеся со скоростью света. Через несколько десятилетий это открытие изменило мир.
Непостижимо эффективно
Тот факт, что анализ может так хорошо моделировать природу, даже несколько пугает, учитывая, насколько различны эти две сферы. Анализ – воображаемое царство символов и логики; природа – реальное царство сил и явлений. Но каким-то образом, если переводить реальность в символы достаточно искусно, с помощью логики анализа можно использовать одну истину реального мира для порождения другой. Истина на входе, истина на выходе [14] . Начните с чего-то эмпирически истинного и выраженого в символах (как Максвелл с законами электричества и магнетизма), примените верные логические действия, и получится другая эмпирическая истина, возможно, новая – какой-то ранее неизвестный факт о Вселенной (подобно существованию электромагнитных волн). Таким образом анализ позволяет нам заглядывать в будущее и предсказывать неизвестное. Именно это делает его столь мощным инструментом для науки и технологий.
14
В оригинале Truth in, truth out – каламбурная отсылка к фразе Wine in, truth out, что примерно соответствует нашей пословице «что у трезвого на уме, то у пьяного на языке». Прим. пер.
Но почему же Вселенная должна уважать хоть какую-нибудь логику, не говоря уже о той, которую можем использовать мы, ничтожные люди? Именно этому удивлялся Эйнштейн, когда писал: «Вечная тайна мира заключается в его постижимости» [15] . Именно это имел в виду американский физик Юджин Вигнер в своем эссе «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» [16] , когда писал: «Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов, это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем» [17] .
15
Einstein, Physics and Reality, 51. Этот афоризм часто передают так: «Самая непостижимая вещь во Вселенной – то, что она постижима». Другие примеры цитат Эйнштейна, подлинных или приписываемых ему, смотрите в книгах: Calaprice, The Ultimate Quotable Einstein, и Robinson, Einstein Said That.
16
Wigner, The Unreasonable Effectiveness; Hamming, The Unreasonable Effectiveness; и Livio, Is God a Mathematician? См. https://coollib.net/b/322251/
17
Перевод Ю. А. Данилова. Прим. пер.
Это чувство благоговения восходит к истории математики. По легенде, Пифагор [18] ощутил его примерно в 550 году до нашей эры, когда вместе с учениками обнаружил, что музыка регулируется отношениями целых чисел. Например, представьте, что вы защипнули гитарную струну. Когда струна вибрирует, она издает определенную ноту. Поставьте палец левой руки точно на половине длины струны и снова защипните ее. Теперь колеблющаяся часть струны вдвое короче (отношение 1 к 2), и струна звучит ровно на октаву выше, чем исходная нота (это расстояние от одной ноты «до» до следующей «до» в интервале до-ре-ми-фа-соль-ля-си-до). Если сократить струну на 2/3 исходной длины, то она будет звучать на квинту выше (интервал от «до» до «соль»; вспомните первые две ноты из темы «Звездных войн»). Если же вибрирующая часть составляет 3/4 исходной длины, то звук выше на кварту (интервал между первыми двумя нотами свадебного марша «Вот идет невеста» [19] ). Древнегреческие музыканты знали о таких музыкальных интервалах, как октава, кварта и квинта, и считали их красивыми. Столь неожиданная связь между музыкой (гармонией реального мира) и числами (гармонией воображаемого мира) привела пифагорейцев [20] к мистической вере в то, что всё есть число. Считается, что они даже верили в то, что планеты на своих орбитах издают музыку – музыку сфер.
18
Asimov, Asimov’s Biographical Encyclopedia, 4–5; Burkert, Lore and Science; Guthrie, Pythagorean Sourcebook; и C. Huffman, Pythagoras,Mart'inez в книгах Cult of Pythagoras и Science Secrets развенчивает многие мифы о пифагорейцах с осторожностью и уничижительным юмором.
19
Here Comes the Bride – популярный на Западе свадебный марш, звучащий во время выхода невесты. Тема взята из оперы «Лоэнгрин» Рихарда Вагнера. Прим. пер.
20
Katz, History of Mathematics, 48–51, и Burton, History of Mathematics, раздел 3.2, обсуждают пифагорейскую математику и философию.
С тех пор многие из величайших математиков и других ученых заболели пифагорейской лихорадкой. Страдал ею астроном Иоганн Кеплер. И физик Поль Дирак. Это побуждало их мечтать, искать и стремиться к гармонии Вселенной и в конце концов привело к открытиям, которые изменили мир.
Принцип бесконечности
Чтобы помочь вам понять, куда мы движемся, позвольте мне сказать несколько слов о том, что такое анализ, чего он (образно говоря) хочет и чем отличается от других областей математики. К счастью, всю эту тему пронизывает одна значимая красивая идея. Как только мы ее осознаем, вся конструкция анализа сложится в единую картину, превратившись в вариации на одну общую тему.
Увы, большинство курсов анализа хоронят эту тему под лавиной формул, процедур и вычислительных ухищрений. Если подумать, то я никогда не сталкивался с тем, чтобы кто-то ее подробно объяснял, хотя это часть культуры анализа и каждому специалисту она, естественно, известна. Давайте назовем это «принципом бесконечности». Он будет направлять нас в нашем путешествии точно так же, как направлял развитие самого анализа – и концептуально, и исторически. Я испытываю искушение сформулировать его прямо сейчас, хотя пока это будет звучать как тарабарщина. Вам будет проще это оценить, если мы станем продвигаться медленно, спрашивая, чего хочет анализ… и как он получает то, что хочет.