Большая Советская Энциклопедия (АН)

Большая Советская Энциклопедия

u = j(x, y), v = y(x, y), (x, y)^ID.

Пусть z — фиксированная точка области D. Придадим z произвольное приращение Dz = Dx + iDy (так, чтобы точка z+Dz оставалась в пределах области D) и рассмотрим соответствующее приращение функции f : Df (z) = f (z + (z) — f (z). Если разностное отношение Df (z)/Dz имеет предел при Dz®0,

т. е. существует комплексное число А такое, что для любого e > 0 будет "iDf(z)/Dz– A"i < e как только "iDz"i < d (d = d(e) > 0), то функция f называется моногенной в точке z, а число А — её производной в этой точке: А = f' (z) = df(z)/dz. Функция, моногенная в каждой точке области D, называется моногенной в области D.

Если функция f моногенна в точке z^ID, то f и соответствующие функции j и y имеют в этой точке частные производные по х и y; при этом ¶f/¶x = ¶y/¶x + i(¶y/¶x), ¶f/¶y = ¶j/¶y + i(¶y/¶y). Производную f’ (z ) можно выразить через частные производные f по х и по у (достаточно вычислить предел отношения Df(z)/Dz двумя разными способами — при Dz = Dx ® 0 и при Dz = iDy ® 0; приравнивая соответствующие выражения, получаем ¶f/¶x = (1/i)¶f/¶y или, что то же самое, ¶f/¶x + i(¶f/¶y) = 0. Переходя к функциям j и y, это равенство можно переписать так: ¶j/¶x = ¶y/¶y, ¶j/¶y = — ¶y/¶x. Если функция f моногенна в области D, то последние соотношения справедливы в каждой точке области D; они называются уравнениями Коши — Римана. Следует отметить, что эти уравнения встречались уже в 18 в. в связи с изучением функций комплексного переменного в трудах Д'Аламбера и Л. Эйлера.

Моногенность функции f эквивалентна её дифференцируемости в смысле комплексного анализа. При этом под дифференцируемостыо f в точке z^ID понимается возможность представления её приращения в виде Df(z) =ADz + a(Dz)Dz, где a(Dz) ® 0 при Dz ® 0; дифференциал df(z) функции f в точке z, равный главной части ADz её приращения Df(z), в этом случае пропорционален dz = Dz и имеет вид f’(z) dz. Полезно сравнить понятия дифференцируемости функции f — в смысле действительного анализа и в смысле комплексного анализа. В первом случае дифференциал df имеет вид (¶f/¶x) dx + (¶f/¶y) dy. Удобно переписать это выражение в комплексной форме. Для этого переходят от независимых переменных x, у к переменным z,

, которые формально можно считать новыми независимыми переменными, связанными со старыми соотношениями: z = х + iy,

 = x - iy (становясь на эту точку зрения, функцию f иногда записывают в виде f(z,

). Выражая dx и dy через dz и d

 по обычным правилам вычисления дифференциалов, получают df = (¶f/¶z)dz + (¶f/¶

)d

, где

¶f/¶z = (¹/₂) (¶f/¶x - i¶f/¶y) и ¶f/¶

= (¹/₂) (¶f/¶x + i¶f/¶y) (формальные) производные функции f по z и

 соответственно.

Отсюда уже нетрудно заключить, что дифференцируемость функции f в смысле комплексного анализа имеет место в том и только том случае, когда она дифференцируема в смысле действительного анализа и справедливо равенство ¶f/¶

= 0, являющееся краткой формой записи уравнений Коши — Римана; при этом

¶f/¶z = f’ = df/dz.

Равенство ¶f/¶

= 0 показывает, что дифференцируемыми в смысле комплексного анализа являются те и только те функции f, которые, рассматриваемые формально как функции независимых переменных z и

 «зависят только от z», являются «функциями комплексного переменного z».

Интеграл от функции f = j + iy вдоль (ориентированной спрямляемой) кривой Г можно определить с помощью понятия криволинейного интеграла:

Центральное место в теории моногенных функций (теории Коши) занимает следующая итегральная теорема Коши: если функция моногенна в односвязной области D, то S_Гf(z)dz = 0 для любой замкнутой кривой Г, лежащей в этой области. В произвольной области D то же утверждение справедливо для замкнутых кривых Г, которые непрерывной деформацией могут быть стянуты в точку (оставаясь в пределах области D). Опираясь на интегральную теорему Коши, нетрудно доказать интегральную формулу Коши: если функция f моногенна в области D и Г — простая замкнутая кривая, принадлежащая области D вместе со своей внутренностью D_Г то для любой точки z^ID_Г

(ориентация кривой Г предполагается положительной относительно области D _Г)

Пусть функция f моногенна в области D. Фиксируем произвольную точку z области D и обозначим через g окружность с центром в точке z и радиусом r > 0, принадлежащую, вместе со всем кругом: К: Iz - z_{I < r, области D. Тогда}

Представим ядро Коши 1/(t—z) для t^Ig и z^IK в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии:

поэтому ряд сходится равномерно относительно t^Ig при любом фиксированном z^IK, интегрируя этот ряд — после умножения на

— почленно, получают разложение функции f в степенной ряд

сходящийся в круге K: I z - z _{I < r.}

Уточним теперь понятие аналитичности. Пусть f — функция, определённая в области D; она называется аналитической (или голоморфной) в точке z _{области , если существует окрестность этой точки (круг с центром в z), в которой функция f представляется степенным рядом:}

f (z) = a _{+ a1(z -z) + a2(z– z)² +. . . . + an(z– z)ⁿ+ . . .}

Если это свойство имеет место в каждой точке z _{области D, то функция f называется аналитической (голоморфной) в области D.}