Большая Советская Энциклопедия (ЭЙ)

Большая Советская Энциклопедия

) = а _{у⁴ +а1 у}³+а₂ у²+а₃ у +a₄ . Л. Эйлер рассматривал это уравнение в ряде работ начиная с 1753. Он показал, что общее решение этого уравнения имеет вид F (х , у ) = 0, где F (х , у ) — симметричный многочлен четвёртой степени от х и у. Этот

результат Эйлера послужил основой теории эллиптических интегралов.

3) Дифференциальное уравнение вида

'

служащее в вариационном исчислении для разыскания экстремалей интеграла

.

Выведено Л. Эйлером в 1744.

Эйлера уравнения

Э'йлера уравне'ния,

1) в механике — динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765.

Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид

I_x

+ (I_z — I_y ) w_y w_z = M_x ,

I_y

+ (I_x — I_z ) w_z w_x = M_y , (1)

I_z

+ (I_y — I_x ) w_x w_y = M_z ,

где I_x , I_y , I_z — моменты инерции тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, w_х , w_у , w_z — проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, M_x , M_y , M_z — гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей;

,

,  

— проекции углового ускорения.

Кинематические Э. у. дают выражения w_х , w_у , w_z через Эйлеровы углы j, y, q и имеют вид

w_x =

sin q sinj +

cosj,

w_у =

sin q cosj —

sinj, (2)

w_z =

 +

cos q.

Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.

2) В гидромеханике — дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р , плотность r, проекции скоростей частиц жидкости u , u , w и проекции действующей объёмной силы X , У , Z рассматривать как функции координат x , у , z точек пространства и времени t (переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:

,

,

.

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X , У , Z , а также начальные и граничные условия, определить u , u, w, р , r, как функции х , у , z и t. Для этого к Э. у. присоединяют уравнение неразрывности в переменных Эйлера

.

В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м уравнением будет уравнение состояния r = j (р ) (или r — const, когда жидкость несжимаема).

Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.

Лит.: Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972, §14, 16; Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.

С. М. Тарг.

Эйлера формулы

Э'йлера фо'рмулы в математике, важнейшие формулы, установленные Л. Эйлером .

1) Э. ф., связывающие тригонометрические функции с показательной (1743):

e^ix = cos х + i sin х ,

,

.