Большая Советская Энциклопедия (ФУ)

Большая Советская Энциклопедия

3. Операторы (общие понятия). Функционалы. Пусть X , Y — линейные пространства; отображение A : X ® Y называется линейным, если для x , у ^I X , l, m ^I

,

где x₁ ,..., x_n и (Ax )₁ ,..., (Ax ) _n — координаты векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно

усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L₂ (а , b ) в него же оператор

(2)

(где K (t , s ) — ограниченная функция — ядро А ) — непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C¹ (a , b ) `I L₂ (a , b ) оператор дифференцирования

(3)

является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).

Непрерывный оператор A : X ® Y , где X , Y — банаховы пространства, характеризуется тем, что

,

поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов

 (X , Y ) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой ||A ||. Свойства

, если

 для каждого x ^I X ], относительно которой шар, т. е. множество точек x ^I Х таких, что ||x || lb r , уже будет компактным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геометрических вопросов для множеств из X' , например установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейна — Мильмана).

Важной задачей Ф. а. является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, например (l_p )c, p > 1, состоит из функций вида a

x_j e_j , где

,

. Однако для большинства банаховых (и в особенности линейных топологических) пространств функционалы будут элементами новой природы, не конструирующимися просто средствами классического анализа. Так, например, при фиксированных t и m на пространстве D (

) определён функционал

. В случае m = 0 его ещё можно записать «классическим» образом — при помощи интеграла, однако при m ³ 1 это уже невозможно. Элементы из (D (

))c называются обобщёнными функциями (распределениями). Обобщённые функции как элементы сопряжённого пространства можно строить и тогда, когда D (

) заменено другим пространством Ф, состоящим как из бесконечно, так и конечное число раз дифференцируемых функций; при этом существенную роль играют тройки пространств Ф' 'E Н 'E Ф, где Н — исходное гильбертово пространство, а Ф — линейное топологическое (в частности, гильбертово с др. скалярным произведением) пространство, например

Ф = W^l₂ (T ).

Дифференциальный оператор D , фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L₂ [a , b ] из пространства C¹ [a , b ], снабженного нормой

,

 Однако для многих задач, и прежде всего для спектральной теории, такие дифференциальные операторы необходимо интерпретировать как действующие в одном и том же пространстве. Эти и другие близкие задачи привели к построению общей теории неограниченных, в частности неограниченных самосопряжённых, и эрмитовых операторов.

4. Специальные классы операторов. Спектральная теория. Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнения вида Cx = y , где С — некоторый оператор, у ^I Y — заданный, а x ^I Х — искомый векторы. Например, если Х = Y = L₂ (а , b ), С = Е — А , где А — оператор из (2), а Е — тождественный оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С — дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т.п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из Х в множество из Y , замыкание которого компактно [таков, например, оператор А из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения x — Ax = у , вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис).

В разнообразных задачах математической физики возникает т. н. задача на собственные значения : для некоторого оператора А : Х ® Х требуется выяснить возможность нахождения решения j ¹ 0 (собственного вектора ) уравнения А j = lj при некотором l ^I

l_j x_j e_j , (4)

где l_j , — собственное значение, отвечающее e_j . Для конечномерного Х вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в Х нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединённые векторы. Набор SpA собственных значений в этом случае называется спектром А .

Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А из (2) с симметричным ядром [т. е. K (t , s ) = K (s , t ) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с. самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L₂ [a , b ]