Среди абстрактных пространств для математического анализа и Ф. а. оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами которых являются функции — откуда и название «Ф. а.»). В работах Д. Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства l2 и L2 (a , b ) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис изучил пространства lp и Lp (a , b ), а С. Банах в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930—40-х гг. в работах Т. Карлемана , Ф. Риса, американских математиков М. Стоуна и Дж. Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.
В СССР первые исследования по Ф. а. появились в 30-х гг.: работы
А. Н. Колмогорова (1934) по теории линейных топологических пространств;
Н. Н. Боголюбова (1936) по инвариантным мерам в динамических системах;
Л. В. Канторовича (1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям Ф. а. к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его
учеников (1938) по углублённому изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классического математического анализа и др.; И. М. Гельфанда и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др.
Для современного этапа развития Ф. а. характерно усиление связей с теоретической физикой, а также с различными разделами классического анализа и алгебры, например теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т.п.
2. Понятие пространства. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Ф. а., являются линейные (векторные) топологические пространства, т. е. линейные пространстваХ над полем комплексных чисел
(или действительных чисел
), которые одновременно и топологические, причём линейные операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Более частная, но очень важная ситуация возникает, когда в линейном пространстве Х можно ввести норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины векторов в обычном евклидовом пространстве. Именно, нормой элемента x ^I Х называется действительное число ||x || такое, что всегда ||x || ³ 0 и ||x || = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
||lx || = |l| ||x ||, l ^I
x , если ||xn — x ||
0.
В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х можно ввести скалярное произведение — обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x , у ^I Х называется комплексное число (x , у ) такое, что всегда (x , x ) ³ 0 и (x , x ) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
, l, m ^I
является нормой элемента x . Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций Ф. а. важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что
для xm , xn ^I X, следует существование предела
, также являющегося элементом Х ). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.
Обычное евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства . Однако в Ф. а. играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в
, норма ||x || =
; банахово пространство Lp (T ) всех суммируемых с р– й (p ³ 1) степенью функций на Т , норма
; банахово пространство lp всех последовательностей таких, что
, здесь
(множеству целых чисел), норма ||x || =(a
|xj |p )1/p ; в случае p = 2 пространства l2 и L2 (T ) гильбертовы, при этом, например, в L2 (T ) скалярное произведение
; линейное топологическое пространство D (
), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на
, каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (а , b )]; при этом xn
x, если xn (t ) равномерно финитны [т. е. (а , b ) не зависит от n ] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x (t ).
Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l2 : векторы ej = {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.
С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н , свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x , у ^I Н называются ортогональными (x ^ y ), если (x , у ) = 0. Для любого x ^I Н существует его проекция на произвольное подпространство F — линейное замкнутое подмножество Н , т. е. такой вектор xF , что x —xF ^f для любого f ^I F . Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н , где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса — последовательности векторов ej , j ^I
, из Н таких, что ||ej || = 1, ej ^ ek при j ¹ k , и для любого x ^I H справедливо «покоординатное» разложение
x = a
xj ej (1)
где xj = (x , ej ), ||x || = a
|xj |2 (для простоты Н предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н взять L2 (0, 2p) и положить
, j =...,—1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x (t ) ^I L2 (0, 2p) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н и l2 ' {xj} , j ^I
гильбертовых пространств Hj — конструкция, подобная образованию Н одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x , x ) = 0 для x ¹ 0], часто весьма экзотического характера, и Н строится процедурой пополнения Х относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x , для которых (x , x ) = 0; тензорное произведение
— образование его аналогично переходу от функций одной переменной f (x1 ) к функциям многих переменных f (x1 ,..., xq ); проективный предел
банаховых пространств — здесь
(грубо говоря), если
для каждого a; индуктивный предел
банаховых пространств X1 `I X2 `I..., здесь
, если все xj , начиная с некоторого j , лежат в одном Xj0 , и в нём
. Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства — проективный предел гильбертовых пространств Нa , обладающих тем свойством, что для каждого a найдётся b такое, что hb `I Нa , и это — т. н. вложение Гильберта — Шмидта [D (< image l:href="#"/>) — пример ядерного пространства].
Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x
0» (полуупорядоченностью). Пример такого пространства — действительное С (Т ), в нём считается x