Большая Советская Энциклопедия (КО), Большая Советская Энциклопедия (БСЭ)

Большая Советская Энциклопедия (КО)

на обложку

Большая Советская Энциклопедия

Шрифт:

Комбинат бытового обслуживания

Комбина'т бытово'го обслу'живания, см. в ст. Бытовое обслуживание .

Комбинатор гидротурбин

Комбина'тор гидротурби'н, устройство для регулирования взаимного расположения лопастей рабочего колеса и лопаток направляющего аппарата ; применяется в реактивных гидротурбинах двойного регулирования. Наиболее благоприятное для кпд взаимное расположение лопаток и лопастей определяется по диаграмме — комбинаторной кривой. К. г. позволяет получать максимальный кпд турбины при изменении режима её работы (напора, расхода, мощности).

Комбинаторика

Комбинато'рика, 1) то же, что математический комбинаторный анализ . 2) Раздел

элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов (безразлично, какой природы; это могут быть буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.).

Наиболее употребительные формулы К.:

Число размещений. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (учитывая порядок, в котором выбираются предметы)? Число способов равно

Anm =

Anm называют числом размещений из n элементов по m.

Число перестановок. Рассмотрим задачу: сколькими способами можно установить порядок следования друг за другом n различных предметов? Число способов равно

Pn = 1Ч2Ч 3... n= n!

(знак n! читается: «n факториал»; оказывается удобным рассматривать также 0!, полагая его равным 1). Pn называют числом перестановок n элементов.

Число сочетаний. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (безразлично, в каком порядке выбираются предметы)? Число способов такого выбора равно

Cnm =

Cnm называют числом сочетаний из n элементов по m. Числа Cnm получаются как коэффициенты разложения n-й степени двучлена (бинома, см. Ньютона бином ):

(a+b) n =Cn an + Cn1an-1 b +Cn2 an-2 b2 +... + Cnn-1 abn-1 + Cnn bn ,

и поэтому они называются также биномиальными коэффициентами. Основные соотношения для биномиальных коэффициентов:

Cnm =Cnn-m ,Cnm + Cnm+1 = Cn+1m+1

Cn + Cn1 + Cn2 +...+ Cnn-1 + Cnn = 2n ,

Cn — Cn1 + Cn2 —...+ (—1) n Cnn = 0.

Числа Anm , Pm и Cnm связаны соотношением:

Anm =Pm Cnm .

Рассматриваются также размещения с повторением (т. е. всевозможные наборы из m предметов n различных видов, порядок в наборе существен) и сочетания с повторением (то же, но порядок в наборе не существен). Число размещений с повторением даётся формулой nm , число сочетаний с повторением — формулой Cmn+m– 1 .

Основные правила при решении задач К.: Правило суммы. Пусть некоторый предмет А может быть выбран из совокупности предметов m способами, а другой предмет В можно выбрать n способами. Тогда имеется т + n возможностей выбрать либо предмет A, либо предмет В.

Правило произведения. Пусть предмет А можно выбрать m способами и после каждого такого выбора предмет В можно выбрать n способами; тогда выбор пары (А, В ) в указанном порядке можно осуществить m + n способами.

Принцип включения и исключения. Пусть имеется N предметов, которые могут обладать n свойствами a1 , a2 ,..., an . Обозначим через N (ai , aj , ..., ak ) число предметов, обладающих свойствами ai, aj ,..., ak и, быть может, какими-либо другими свойствами. Тогда число N' предметов, не обладающих ни одним из свойств, a1 , a2 ,..., an, даётся формулой

= N—N (a1 ) — N (a2 ) —... —N (an ) + N (a1 , a2 ) + N (a1 , a3 ) +... + N (an-1 , an ) — N (a1 , a2 , a3 ) —... — N (an-2 , an-1 , an ) +... +(—1) n N (a1 ,..., an )