Большая Советская Энциклопедия (КО)

Большая Советская Энциклопедия

Среди различных обобщений К. п. ф. следует отметить формулу Бонне

,

её частный случай — формулу Коши

.

Рис. к ст. Конечных приращений формула.

Конечных разностей исчисление

Коне'чных ра'зностей исчисле'ние, раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления

и интегрального исчисления , где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями «вперёд» для последовательности значений y₁ = f (x₁ ), y₂ = f (x₂ ),..., y_k = f (x_k ),... функции f (x), соответствующих последовательности значений аргумента x _{,..., xk ,,...} (x_k = х + kh, h — постоянное, k — целое), называют выражения:

Dy_k o Df (x_k ) = f (x_k+1 ) - f (x_k )

(разности 1-го порядка),

D² y_k o D² f (x_k ) = Df (x_k+1 )- Df (x_k ) = f (x_k+2 )-2f (x_k+1 ) + f (x_k )

(разности 2-го порядка),

Dⁿ y_k o Dⁿ f (x_k ) = D^n-1 f (x_k+1 ) - D^n-1 f (x_k )

(разности n-го порядка).

Соответственно, конечные разности «назад» Dⁿy_к определяются равенствами

Dⁿ y_к = Dⁿ y_{к+ n} .

При интерполяции часто пользуются т. н. центральными разностями dⁿ y , которые вычисляются при нечётном n в точках х = x_i +¹ l₂ h, а при чётном n в точках х = x_i по формулам

df (x_i + ¹ /₂ h) o dy_i+1/2 = f (x_i+1 ) - f (x_i ),

d² f (x_i ) o d² y_i = dy_i+1/2 ,

d^2m-1 f (x_i + ¹ /₂ h) o d^2т—1yi_+1/2 = d^2т—2yi₊₁– d^2т—2yi ,

d^2m f (x_i ) o d^2т у_i = d^2т—1yi_+1/2– d^2т—1yi_{– 1/2}

Они дополняются средними арифметическими

,

,

где m = 1,2,...; если m = 0, то полагают

.

Центральные разности dⁿy связаны с конечными разностями Dⁿy соотношениями

d^2т у_i = D^2т у_i-m ,

d^2т+1yi_+1/2 =   D^2m+1 y_i-m

Если значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. x_k+1 – x_k не есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам

…………………………..……………………

.

Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой Dⁿ y_k = f ⁽ⁿ⁾ (

), где x_k lb

lbx_k+n . Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.

Например, для приближённого решения дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).

Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида

F [x,(f (x),..., Dⁿ f (x)] = 0 (1)

задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n– го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде

Ф [х, f (x), f (x₁ ),..., f (x_n ) ] = ,

выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

f (x+n) + a₁ f (x+n-1) +... + a_n f (x) = 0,

где a₁ ,..., a_n — постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни l₁ , l₂ ,... l_n его характеристического уравнения

lⁿ + a₁ l^n-1 +...+a_n = 0.

Тогда общее решение данного уравнения представится в виде

f (x) = С₁ l₁^х + C₂ l₂^x +... + C_n l_n^x ,