Большая Советская Энциклопедия (НА)
Шрифт:
при значении t = t Если n = 2 и y = y (t ) — закон движения материальной точки, то в Н. у. задаётся положение точки и её скорость в момент t = t . Н. у. для дифференциального уравнения с частными производными ставится аналогично. Так, для уравнения свободных колебании струны
где u (t, x ) — отклонение точки х струны в момент t от её положения покоя на оси Ox , Н. у. состоит в задании начальной формы струны
и
Роль времени может играть какой-либо другой аргумент; тогда Н. у. задаётся при некотором значении этого аргумента.
Начертательная геометрия
Начерта'тельнаягеоме'трия , раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскости, в частности построения проекционных изображений, а также методы решения и исследования пространственных задач на плоскости.
Потребность в изображениях пространственных предметов на плоскости возникла в связи с решением различных практических вопросов (например, строительство зданий и других инженерных сооружений, развитие живописи и архитектуры, техники и т.п.). Особенно большое значение имеют чертежи, получаемые проектированием (проецированием) данной фигуры на плоскость (проекционные чертежи). Практика предъявляла к таким чертежам ряд требований; важнейшие из них: 1) наглядность изображения, т. е. свойство чертежа вызывать пространственное представление изображаемой фигуры; 2) «обратимость» чертежа, т. е. возможность точного определения изображенной фигуры по чертежу; 3) простота выполнения требуемых построений; 4) точность графических решений. В способах построения изображений применяются центральное и параллельное проектирование фигуры (натуры, объекта, оригинала) на плоскость проекций (см. Проекция ). Наибольшей наглядностью обладают чертежи, полученные способом центрального проектирования, который соответствует геометрической схеме возникновения изображений на сетчатке человеческого глаза. Однако наиболее употребительными в Н. г. являются параллельные проекции, которые более просты в построении изображений и более удобны для определения по ним натуральной фигуры. Существуют различные виды параллельных проекций; самым распространённым является способ ортогональной проекции на две или три плоскости (комплексный чертёж). Сущность этого способа заключается в следующем. Выбирают две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 и П2 в пространстве. Плоскость П1 располагают горизонтально; её называют горизонтально и плоскостью проекций, а плоскость П2 — фронтальной плоскостью проекций. Произвольную точку А пространства проектируют ортогонально на эти плоскости (рис. 1 ); получают горизонтальную проекцию A1 (AA1 (плоскости П1 ) и фронтальную проекцию A2 (AA2 ^ плоскости П2 ). Три точки А , A1 и A2 лежат в одной (проектирующей) плоскости, перпендикулярной к линии p12 пересечения плоскостей проекций. Горизонтальную проекцию какой-либо фигуры получают, проектируя ортогонально все точки этой фигуры на плоскость П1 , фронтальную проекцию — на плоскость П2 . Часто бывает полезно добавить третью проекцию фигуры — на плоскость П3 , перпендикулярную к плоскостям П1 и П2 . Плоскость П3 , а также и проекцию на неё называют профильной. Две проекции точки А (например, A1 и A2 ) вполне определяют третью проекцию (A3 ).
Чтобы получить чертёж, состоящий из трёх указанных проекций (комплексный чертёж), плоскости П1 и П3 совмещают с плоскостью П2 («главной» плоскостью) путём вращения их вокруг линий p12 и p23 пересечения этих плоскостей с плоскостью П2 (рис. 2 ). Обычно на практике не указывается положение осей проекций p12 и p13 , то есть положение плоскостей проекций определяется с точностью до параллельного переноса.
Комплексный чертёж обратим, так как по нему можно определить расстояние между любыми двумя
(рис. 4 ); для этого нужно построить
Для увеличения наглядности комплексного чертежа на проекциях фигуры устанавливают «условия видимости»: из двух точек А и В, проекции которых на какой-либо из плоскостей проекций совпадают, например A1 o B1 , видимой считается та, которая расположена ближе к зрителю; «невидимые» линии фигуры условно изображаются штриховыми линиями. Пример такого изображения пространственной фигуры в трёх проекциях, называется «вид спереди» (фронтальная проекция), «вид сверху» (горизонтальная проекция) и «вид слева» (профильная проекция), дан на рис. 5 .
Комплексный чертёж (из двух или трёх ортогональных проекций) является наиболее распространённым видом технического чертежа. По нему легко определяются все необходимые размеры изображаемого предмета. Недостаток таких чертежей — их малая наглядность.
Для построения более наглядных обратимых изображений в Н. г. применяется другой способ, называемый аксонометрией.
При аксонометрии изображаемую фигуру относят к системе Oxyz осей координат в пространстве (см. Аналитическая геометрия ). Эту систему координат называют натуральной. На рис.6 построена координатная ломаная OMx M1 M для произвольной точки М. Длины координатных отрезков OMx , Mx M1 , M1 M являются координатами х, у, z точки М. Если спроектировать натуральную систему осей Охуz на плоскость П', то получается так называемая аксонометрическая система осей О'х'у'z' (рис. 6 ). Проекция O'M'x M'1 M' координатной ломаной состоит из отрезков O'M'x , M'x M'1 , M'1 M', длины которых x', y', z' в аксонометрической системе координат называется аксонометрическими координатами точки М. Отношения
выражают величины искажения координатных отрезков при проектировании; их называют показателями (коэффициентами) искажения. Если все три показателя искажения равны, то аксонометрию называют изометрией, если хотя бы два из них равны — диметрией, если же все показатели искажения неравны — триметрией.
Чтобы при помощи аксонометрического способа построить изображение точки М на плоскости П' в данной параллельной проекции, необходимо иметь: а) натуральные координаты этой точки М (х, у, z ); б) аксонометрическую систему осей О'х'у'z' на плоскости проекций П'; в) показатели искажения u, v, w.
Тогда по формулам (*) находят аксонометрические координаты точки М' (х', у', z' ) и строят по ним точку M', являющуюся искомой проекцией точки М. Аксонометрическое изображение пространственной фигуры строят по точкам, определяющим последнюю. Аксонометрический чертёж обратим: если на аксонометрическом чертеже дана точка M' (х', у', z' ), то можно по формулам (*) найти натуральные координаты х, у, z точки М.
Если задать произвольную аксонометрическую систему осей O'x'y'z' на плоскости проекций П' (не сводящуюся, однако, к одной прямой) и отношение показателей искажения u: v: w, то, согласно основной теореме аксонометрии (Польке теореме ), существует такое положение натуральной системы осей координат относительно плоскости проекций П' и такое направление проектирования, при которых на плоскости П' реализуются ранее выбранная аксонометрическая система осей и отношений показателей искажения.