Большая Советская Энциклопедия (ПО)

Большая Советская Энциклопедия

Из аксиом I, II следует, что элементы П. образуют коммутативную группу относительно сложения, а из аксиом I, III — то, что все отличные от 0 элементы П. образуют коммутативную группу относительно умножения.

Может оказаться, что в П. равно нулю целое кратное na какого-либо отличного от нуля элемента а. В этом случае существует такое простое число р, что р– кратное pa любого элемента а этого П. равно нулю. Говорят, что в этом случае характеристика П. равна р (пример 6). Если na ¹ 0 ни для каких отличных от нуля n и а, то считают характеристику П. равной нулю (примеры 1—5).

Если часть F элементов поля G сама образует П. относительно тех же операций сложения и умножения, то F называется подполем поля G, а G — надполем, или расширением поля F.

П., не имеющее подполей, называется простым. Все простые П. исчерпываются П. примеров 1 и 6 (при всевозможных выборах простого числа р ). В каждом П. содержится единственное простое подполе (П. примеров 2—5 содержат П. рациональных чисел). Естественно было бы поставить такую задачу: отправляясь от простого П., получить описание всех П., изучив структуру расширений; приводимая ниже теорема Штейница делает шаг именно в этом направлении.

Некоторые расширения имеют сравнительно простое строение. Это — а) простые трансцендентные расширения, которые сводятся к тому, что за поле G берётся П. всех рациональных функций от одного переменного с коэффициентами из F, и б) простые алгебраические расширения (пример 5), которые получаются, если совокупность G всех многочленов степени n складывать и умножать по модулю данного неприводимого над F многочлена f (x ) степени n (конструкция, аналогичная примеру 6). Расширения второго типа сводятся к тому, что мы добавляем к F корень многочлена f (x ) и все те элементы, которые можно выразить через этот корень и элементы F; каждый элемент надполя G является корнем некоторого многочлена с коэффициентами из F. Расширения, обладающие последним свойством, называется алгебраическими. Любое расширение можно выполнить в два приёма: сначала совершить трансцендентное расширение (образовав П. рациональных функций, не обязательно от одной переменной), а затем алгебраическое (теорема Штейница). Алгебраических расширений не имеют только такие П., в которых каждый многочлен разлагается на линейные множители. Такие П. называются алгебраически замкнутыми. П. комплексных чисел является алгебраически замкнутым (алгебры основная теорема ). Любое П. можно включить в качестве подполя в алгебраически замкнутое.

Некоторые П. специального вида подверглись более детальному изучению. В теории алгебраических чисел рассматриваются главным образом простые алгебраические расширения П. рациональных чисел. В теории алгебраических функций исследуются простые алгебраические расширения П. рациональных функций с комплексными коэффициентами; значительное внимание уделяется конечным расширениям П. рациональных функций над произвольным П. констант (т. е. с произвольными коэффициентами). Конечные расширения П., в особенности их автоморфизмы (см. Изоморфизм ), изучаются в теории Галуа (см. Галуа теория ); здесь находят ответ многие вопросы, возникающие при решении алгебраических уравнений. Во многих вопросах алгебры, особенно в различных отделах теории П., большую роль играют нормированные поля. В связи с геометрическими исследованиями появились и изучались упорядоченные П.

См. также Алгебра , Алгебраическое число , Алгебраическая функция , Кольцо алгебраическое.

Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971; Ван дер Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., [2 изд.], ч. 1—2, М. — Л., 1947; Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М.— Л., 1948; его же, Основы теории Галуа. ч. 1—2, Л. — М., 1934—37; Вейль Г., Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1947.

Поле (в биологии)

По'ле в биологии, понятие, описывающее биологическую систему, поведение частей которой определяется их положением в этой системе. Наличие таких систем следует прежде всего из многочисленных опытов по перемещению, удалению и добавлению частей у зародышей. Во многих случаях из таких зародышей развиваются нормальные организмы, т.к. их составные части изменяют прежний путь развития согласно своему новому положению в целом. В 1912—22 А. Г. Гурвич ввёл понятие П. (морфогенетического П.) в эмбриологию и поставил задачу отыскания его законов. Последние сначала отождествлялись им с нерасчленимым фактором, управляющим формообразованием, позже — с системой межклеточных взаимодействий, определяющих движение и дифференцировку клеток зародыша. В 1925 австрийский учёный П. Вейс применил понятие П. к процессам регенерации ; в 1934 английские учёные Дж. Хаксли и Г. де Вер объединили его с понятием градиента . Английский биолог К. Уоддингтон и французский математик Р. Том (40—60-е гг. 20 в.) создали представления об эмбриональном развитии как о векторном П., разделённом на ограниченное число зон «структурной устойчивости». Этот круг понятий интенсивно разрабатывается в современной теоретической биологии, но единого мнения о внутренних закономерностях явлений, описываемых понятием П., не выработано.

Лит.: Гурвич А. Г., Теория биологического поля, М., 1944; Уоддингтон К. Морфогенез и генетика, пер. с англ., М., 1964; На пути к теоретической биологии, пер. с англ., [т.] 1, М., 1970; Towards a theoretical biology, v. 2—4, Edin., 1969—72.

Л. В. Белоусов.

Поле (в сельском хоз-ве)

По'ле , 1) обширное, ровное, безлесное пространство. 2) В сельском хозяйстве участки пашни, на которые разделены площадь севооборота , а также внесевооборотные (запольные) участки, используемые для выращивания с.-х. растений. 3) Ограниченный определёнными пределами объект наблюдения, обозрения (П. зрения); часть пространства, плоскости, которая изображается оптической системой, например поле зрения оптической системы. 4) Район боевых операций (П. битвы, П. обстрела). 5) В русских юридических источниках 13—16 вв. судебный поединок (см. Поле юридическое). 6) Основной цвет, тон, на котором что-либо изображено; задний план изображения, то же, что фон. 7) Полоса вдоль края листа бумаги, оставляемая свободной от письма и печати (тетрадь с П., П. книги, П. рукописи). 8) В переносном смысле — область, сфера человеческой деятельности, поприще. 9) Поля — а) земельные участки, специально приспособленные для определённых целей, например для приёма сточных вод (см. Поля фильтрации , Поля орошения ); б) широкий край шляпы. О применении термина «П.» в математике см. Поле алгебраическое, Поле направлений , Поля теория и др.; в физике — Поля физические , Электромагнитное поле и др.; в астрономии и геофизике — Электрическое поле в атмосфере , Электрическое поле Земли . См. также Поле в биологии, Поле семантическое.

Поле (грамматич.)

По'ле (Feld, field, champ) семантическое, совокупность слов, объединяемых смысловыми связями по сходным признакам их лексических значений. Например, П. немецкого глагола fehlen охватывает 7 глаголов, объединяемых признаком «отсутствовать»: fehlen, abgehen, mangeln, gebrechen, vermissen, entbehren, missen. Понятие П. позволяет адекватно описывать микроструктурные системные семантические взаимодействия языковых единиц. Разрабатывается с конца 20-х — начала 30-х гг. 20 в. немецкими учёными И. Триром (изучал совокупность слов в их предметно-понятийных связях), В. Порцигом (исследовал одно слово в его семантико-синтаксических связях), А. Йоллесом (связал П. с этимолого-словообразовательным анализом слова), Г. Ипсеном. В 50-е гг. 20 в. теорию П. разрабатывает Л. Вайсгербер (ФРГ). Концепции немецких учёных подвергаются критике за использование понятия П. для доказательства идеалистического тезиса о «промежуточном языковом мире» (die sprachliche Zwischenwelt), субъективизм в выделении полей, невозможность охватить ими всю лексику, умаление самостоятельной роли отдельного слова.

С 60-х гг. 20 в. исследуются лексико-семантические поля слов и синтактико-семантические П. одного слова. Понятие П. расширяется: выделяются лексико-грамматические, функционально-семантические, словообразовательные и др. виды полей.

Лит.: Уфимцева А. А., Опыт изучения лексики как системы, М., 1962; Кузнецова А. И., Понятие семантической системы языка и методы её исследования, М., 1963; Васильев Л. М., Теория семантических полей, «Вопросы языкознания», № 5, 1971; Щур Г. С., Теории поля в лингвистике, М. — Л., 1974; Trier J., Der deutsche Wortschatz im Sinnbezirk des Verstandes, Hdlb., 1931; Porzig W., Das Wunder der Sprache, 3 Aufl., Bern, 1962; Weisgerber L., Grundz"uge der inhaitbezogenen Grammatik, 3. Aufl., D"usseldorf, 1962: Hoberg R., Die Lehre vom sprachlichen Feld, D"usseldorf, 1970; Minina N., Semantische Felder, Moskau, 1973.

Н. М. Минина.

Поле зрения

По'ле зре'ния оптической системы, часть пространства (плоскости), изображаемая этой системой. Величина П. з. определяется входящими в систему деталями (такими, как оправы линз, призм и зеркал, диафрагмы и пр.), которые ограничивают пучок лучей света. Различают измеряемое в угловых единицах угловое П. з. систем, предназначенных для наблюдения за очень (практически — бесконечно) удалёнными объектами (телескопы , зрительные трубы , многие фотографические аппараты), и измеряемое в мм или см . линейное П. з. систем, в которых расстояние до объекта невелико (например, микроскопов ). Если А (рис. ) — центр входного зрачка системы (см. Диафрагма в оптике), то П. з. — это либо угол 2w, под которым из А виден входной люкS₁ S₂ и соответствующая часть плоскости объекта O₁ O₂ , либо сами линейные размеры O₁ O₂ (OO — ось симметрии системы). В общем случае плоскости O₁ O₂ и S₁ S₂ не совпадают и имеет место виньетирование (с шириной кольца BB₁ ). Если же S₁ S₂ совмещена с плоскостью объекта, граница П. з. резка. Этого стараются добиться во многих телескопах, зрительных трубах и др., помещая диафрагму П. з. в фокальную плоскость объектива. Угол П. з. (в пространстве предметов, см. Изображение оптическое ) обратно пропорционален угловому увеличению оптическому системы. В биноклях он составляет 5—10°, а в самых больших телескопах не превышает несколько дуговых минут. В специальных (т. н. широкоугольных) фотообъективах он достигает 120—140° и даже 180° (см. Объектив ). Подавляющее большинство микроскопов снабжается набором сменных окуляров , увеличения которых и, следовательно, линейные П. з. в пространстве объектов 2l различны. Очень часто используются окуляры с 2l = 18 мм; однако у многих окуляров П. з. больше или меньше этой величины. В поляризационных микроскопах и стереомикроскопах зачастую применяют окуляры с П. з. до 25 мм (широкоугольные). Линейное П. з. микроскопа в целом равно 2l /b, где b — линейное увеличение объектива микроскопа.