Большая Советская Энциклопедия (ПР)
Шрифт:
Функция, равная нулю при рациональных х и единице при иррациональных, не имеет П. при х ® 0, однако по множеству рациональных чисел она при х ® 0 имеет П., равный нулю. Понятие П. числовой функции по множеству переносится и на функции многих переменных. В этом случае можно говорить, в частности, о П. в данном направлении, о П. по данной кривой, по данной поверхности и т.д. Кроме того, для функций многих переменных возникает понятие повторного предела, когда предельный переход совершается последовательно по разным переменным, например
Предел интегральных сумм . Ещё одно важное понятие П. возникает при определении интеграла . Пусть, например, функция f
a = x < x1 <... < xi <... < xn-1 < xn = b,
наз. разбиением отрезка [a , b ]. Пусть xi-1 lb xI < xi , Dxi = xi– xi-1 ,i = 1, 2,..., n. Тогда сумма f (x1 )Dx1 + f (x2 )Dx2 +... + f (xn )Dxn называется интегральной суммой функции f . Число А является пределом интегральных сумм и называется определённым интегралом:
если для любого e > 0 существует такое d > 0, что каково бы ни было разбиение {xi } отрезка [a , b ], для которого Dxi < d, и каковы бы ни были точки xi , xi-1 lb xI lb xi , i = 1, 2,..., n, выполняется неравенство
½f (x1 )Dx1 + f (x2 )Dx2 +... + f (xn )Dxn – A | < e.
Понятие П. интегральных сумм может быть введено и с помощью П. последовательности.
Обобщения понятия предела . Ввиду разнообразия употребляемых в математике специальных видов понятия П. естественно возникло стремление включить их как частный случай в то или иное общее понятие П. Например, можно ввести понятие П., обобщающее как понятие П. функции, так и понятие П. интегральных сумм. Система S непустых подмножеств некоторого множества Е называется направлением, если для каждых двух подмножеств А и В этой системы выполняется одно из включений А `I В или B `I A и пересечение всех множеств из S пусто. Пусть на множестве Е задана числовая функция f. Число а называется пределом функции f по направлению S, если для любого e > 0 существует такое множество А из S, что во всех его точках выполняется неравенство |f (x ) — а | < e. При определении П. функции f в точке x за направление следует взять совокупность всех окрестностей этой точки с достаточно малыми радиусами за вычетом самой точки х. При определении П. интегральных сумм функции f , заданной на отрезке [а, b ], следует рассмотреть множество Е, элементами которого являются всевозможные разбиения отрезка [а, b ] с выбранными в них точками xi . Подмножества Eh множества Е, отвечающие разбиениям, длины Dxi , отрезков которых не превышают h, образуют направление. П. интегральных сумм (которые, очевидно, являются функциями, определёнными на множестве Е ) по указанному направлению является интеграл.
Понятие П. обобщается на более широкие классы функций, например на функции, заданные на частично упорядоченных множествах, или на функции, являющиеся отображениями одного пространства (метрического или, более общо, топологического) на другое. Наиболее полно задача определения П. решается в топологии и означает в общем случае, что некоторый объект, обозначенный f (x ), меняющийся при изменений др. объекта, обозначенного через х, при достаточно близком приближении объекта х к объекту х сколь угодно близко приближается к объекту А. Основным в такого рода понятиях П. является понятие близости объектов х и x, f (x ) и А, которые нуждаются в математическом определении. Только после того как это будет сделано, высказанному определению П. можно будет придать чёткий смысл и оно станет содержательным. Различные понятия близости и изучаются, в частности, в топологии.
Встречаются, однако, понятия П. др. природы, не связанные с топологией, например понятие П. последовательности множеств. Последовательность множеств An , n = 1, 2,..., называется сходящейся, если существует такое множество А, называемое её пределом, что каждая его точка принадлежит всем множествам An, начиная с некоторого номера, и каждая точка из объединения всех множеств An, не принадлежащая A , принадлежит лишь конечному числу An.
Историческая справка . К понятию П. вплотную подошли ещё древнегреческие учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью исчерпывания метода . Так, Архимед , рассматривая последовательности вписанных и описанных ступенчатых фигур и тел, с помощью метода исчерпывания доказывал, что разность между их площадями (соответственно объёмами) может быть сделана меньше любой наперёд заданной положительной величины. Включая в себя представление о бесконечно малых, метод исчерпывания являлся зародышем теории П. Однако в явном виде в древнегреческой математике понятие П. не было сформулировано, не было создано и каких-либо основ общей теории.
Новый этап в развитии понятия П. наступил в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Г. Галилей , И. Кеплер , Б. Кавальери , Б. Паскаль и др. широко используют при вычислении площадей и объёмов «неделимых» метод , метод актуальных бесконечно малых, т. е. таких бесконечно малых, которые, по их представлению, являются неизменными величинами, не равными нулю и вместе с тем меньшими по абсолютной величине любых положительных конечных величин. Продолжает в этот период применяться и развиваться и метод исчерпывания (Григорий из Сен-Винцента, П. Гульдин , Х. Гюйгенс и др.). На основе интуитивного понятия П. появляются попытки создать общую теорию П. Так, И. Ньютон первый отдел первой книги («О движении тел») своего труда «Математические начала натуральной философии» посвящает своеобразной теории П. под названием «Метод первых и последних отношений», которую он берёт за основу своего флюксий исчисления . В этой теории Ньютон взамен актуальных бесконечно малых предлагает концепцию «потенциальной» бесконечно малой, которая лишь в процессе своего изменения становится по абсолютной величине меньше любой положит, конечной величины. Точка зрения Ньютона была существенным шагом вперёд в развитии представления о П. Понятие П., намечавшееся у математиков 17 в., в 18 в. постепенно всё больше анализировалось (Л. Эйлер , Ж. Д'Аламбер , Л. Карно , братья Бернулли и др.) и уточнялось. В этот период оно служило лишь для попыток объяснить правильность дифференциального и интегрального исчисления и ещё не являлось методом разработки проблем математического анализа.