Большая Советская Энциклопедия (ТР)
Шрифт:
Тригонометрические функции
Тригонометри'ческие фу'нкции , один из важнейших классов элементарных функций.
Для определения Т. ф. обычно рассматривают окружность единичного радиуса с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами A'A и B'B (рис. 1 ). От точки А по окружности откладываются дуги произвольной длины, которые считаются положительными, если откладываются в направлении от А к В (против часовой стрелки), и отрицательными, если они откладываются в направлении от А к B' (по часовой стрелке). Если С — конец дуги, имеющей длину j, то проекция OP радиуса OC на диаметр A'A называется косинусом дуги j (OP = cos j). При этом под проекцией OP понимается длина направленного отрезка
|cosj| lb 1, |sinj| lb 1.
Иначе cosj и sinj могут быть определены как прямоугольные декартовы координаты точки С , лежащей на дуге окружности единичного радиуса, центр которой в начале координат, ось абсцисс направлена по диаметру A'A , а ось ординат — по диаметру B'B .
Так как центральный угол в радианной мере измеряется тем же числом, что и дуга (радиус окружности равен единице), то cosj и sinj можно рассматривать как косинус и синус угла. Вообще под аргументом Т. ф. принято понимать число, которое можно рассматривать геометрически как длину дуги или радианную меру угла. Если аргумент Т. ф. рассматривают как угол, то его значение может быть выражено и в градусной мере. Для острых углов j (0 < j < p/2), и только для них, Т. ф. cos j и sin j можно рассматривать как отношение катетов прямоугольного треугольника, прилежащего углу или противолежащего углу, к гипотенузе. Дуга AB окружности называется 1-й её четвертью, соответственно дуги BA' — 2-й, A'B' — 3-й, B'A — 4-й четвертями. Для углов j из 1-й четверти: cosj > 0, sinj > 0, из 2-й четверти: cosj < 0, sinj > 0, из 3-й четверти: cosj < 0, sinj < 0, из 4-й четверти: cosj > 0, sinj < 0. Кроме того, cosj — чётная функция: cos (—j) = cosj, а sinj — нечётная функция: sin (—j) = —sinj.
С помощью основных Т. ф. можно определить другие Т. ф.: тангенс tgj = sinj /cosj, котангенс ctgj = cosj /sinj, секанс secj = 1/cosj, косеканс cosecj = 1/sinj. При этом tgj и secj определяются только для таких j, для которых cosj ¹ 0; а ctgj и cosecj для тех j, для которых sinj ¹ 0; функция secj — чётная, а функции cosecj, tgj и ctgj — нечётные. Эти функции также могут быть представлены геометрически отрезками прямых (рис. 1 ): tgj = AL , ctgj = BK , secj = OL , cosecj = OK (для острых углов j и соответствующими отрезками для других углов). С этим геометрическим представлением связано и происхождение названий Т. ф. Так, латинское tangens означает касательную (tgj изображается отрезком AL касательной к окружности), secans — секущую (secj изображается отрезком OL секущей к окружности). Название «синус» (лат. sinus — изгиб, пазуха) представляет собой перевод арабского «джайб», являющегося, по-видимому, искажением санскритского слова «джива» (буквально — тетива лука), которым индийские математики обозначали синус. Названия «косинус», «котангенс», «косеканс» представляют собой сокращения термина complementi sinus (синус дополнения) и ему подобных, выражающих тот факт, что cosj, ctgj и cosecj равны соответственно синусу, тангенсу и секансу аргумента (дуги или угла), дополнительного к j (до или, в градусной мере, до 90°):
cosj = sin ( — j); ctgj = tg ( — j);
cosecj = sec ( — j).
Подобно синусу и косинусу, остальные Т. ф. для острых углов могут рассматриваться как отношения сторон прямоугольного треугольника: тангенс и котангенс как отношения катетов (противолежащего к прилежащему и наоборот), а секанс и косеканс как отношения гипотенузы соответственно к прилежащему и противолежащему катетам.
Так как точка С, являющаяся концом дуги j, служит одновременно концом дуг j + 2p, j + 4p, ¼ (2p — длина окружности), то все Т. ф. оказываются периодическими. При этом основным периодом функций sinj, cosj, secj, cosecj является число 2p (угол в 360°), а основным периодом tgj и ctgj — число p (угол в 180°). Графики Т. ф. см. на рис. 2.
Значения Т. ф. одного и того же аргумента связаны между собой рядом соотношений:
sin2 j + cos2 j = 1,
tg2 j + 1 = sec2 j; ctg2 j + 1 = cosec2 j.
Для некоторых значений аргумента значения Т. ф. могут быть получены из геометрических соображений (табл.).
| Аргумент | Тригонометрические функции | ||||||
| в градусах | в радианах | sinj | cosj | tgj | ctgj | secj | cosecj |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | не существует | 1 | не существует |
| 30 | p/6 | 1 /2 | "O3/2 » 0,8660 | "O3/3 » 0,5774 | "O3 » 1,7322 | 2"O3/3 » 1,1547 | 2 |
| 45 | p/4 | "O2/2 » 0,7071 | "O2/2 » 0,7071 | 1 | 1 | "O2 » 1,4142 | "O2 » 1,4142 |
| 60 | p/3 | "O3/2 » 0,8660 | 1 /2 | "O3 » 1,7322 | "O3/3 » 0,5774 | 2 | 2"O3/3 » 1,1547 |
| 90 | p/2 | 1 | 0 | не существует | 0 | не существует | 1 |
Для больших значений аргумента можно пользоваться так называемыми формулами приведения, которые позволяют выразить Т. ф. любого аргумента через
Т. ф. аргумента j, удовлетворяющего соотношению 0 lb j lb или даже 0 lb j lb , что упрощает составление таблиц Т. ф. и пользование ими, а также построение графиков. Эти формулы имеют вид:
в первых трёх формулах n может быть любым целым числом, причём верхний знак соответствует значению n = 2k , а нижний — значению n = 2k + 1; в последних — n может быть только нечётным числом, причём верхний знак берётся при n = 4k + 1, а нижний при n = 4k — 1.
Важнейшими тригонометрическими формулами являются формулы сложения, выражающие Т. ф. суммы или разности значений аргумента через Т. ф. этих значений:
знаки в левой и правой частях всех формул согласованы, то есть верхнему (нижнему) знаку слева соответствует верхний (нижний) знак справа. Из них, в частности, получаются формулы для Т. ф. кратных аргументов, например:
Часто бывают полезны формулы, выражающие степени sin и cos простого аргумента через sin и cos кратного, например:
Формулы для cos2 j и sin2 j можно использовать для нахождения значений Т. ф. половинного аргумента:
Знак перед корнем выбирается в зависимости от величины .
Суммы или разности Т. ф. различных аргументов могут быть преобразованы в произведения по следующим формулам:
в первой и последней формулах (4) знаки согласованы. Наоборот, произведения Т. ф. могут быть преобразованы в сумму или разность по формулам:
Производные всех Т. ф. выражаются через Т. ф.:
При интегрировании Т. ф. получаются Т. ф. или их логарифмы: