Черные дыры и складки времени. Дерзкое наследие Эйнштейна

Торн Кип

В случае электронов внутри очень плотного вещества короткая длина волны и, соответственно, высокая энергия приводят к их быстрому движению; это означает, что электрон должен двигаться в своей ячейке как странный сверхбыстрый мутант: наполовину — волна, наполовину — частица. Физики говорят, что электрон «вырожден», и называют давление, вызываемое этим беспорядочным высокоскоростным движением, «давлением вырожденных электронов». Избавиться от этого давления невозможно; оно является неизбежным следствием заключения электрона в малом объеме. Более того, чем больше плотность вещества, тем меньше ячейка, тем меньше длина волны электрона, тем выше его энергия, быстрее движение и, следовательно, больше давление вырождения. В обычном веществе с обычной плотностью давление вырождения настолько мало, что им можно пренебречь, но при огромных плотностях белых карликов оно должно быть чрезвычайно большим.

* * *

Когда Эддингтон писал свою книгу, электронное вырождение еще не было предсказано, и поэтому не было никакой возможности

правильно рассчитать, как камень или любой другой материал ответит на сжатие до ультравысоких плотностей Сириуса В. С появлением законов электронного вырождения, подобные вычисления стали возможны, и они действительно были предложены и осуществлены Фоулером в статье 1926 г.

Врезка 4.1

Краткая история корпускулярно-волнового дуализма

Уже во время Исаака Ньютона (конец 1600-х) физики столкнулись с вопросом: состоит ли свет из частиц или волн. Ньютон, хотя и колебался, все же склонялся к частицам и назвал их корпускулами, в то время как Христиан Гюйгенс приводил доводы в пользу волн. Представление о частицах света Ньютона возобладало до начала 1800-х, когда открытие, что свет может сам с собой интерферировать (глава 10), убедило физиков в правильности волновых воззрений Гюйгенса. В середине 1800-х Джеймс Кларк Максвелл поставил волновое описание волны на твердую опору своих объединяющих законов электричества и магнетизма, и физики решили, что проблема, наконец, разрешилась. Однако это было до появления квантовой механики.

В 1890-х Макс Планк заметил в форме спектра излучения, испускаемого очень горячими объектами, намеки на то, что физики что-то упустили в понимании природы света. В 1905 г. Эйнштейн показал то, чего не доставало: свет иногда ведет себя как волна, а иногда как частица (теперь называемая фотоном). Эйнштейн объяснил, что он ведет себя как волна, когда интерферирует сам с собой, но как частица в фотоэлектрическом эффекте, когда слабый пучок света падает на поверхность металла. Луч выбивает электроны из металла по одному, именно так, как если бы с электронами сталкивались, выбивая их с поверхности металла, отдельные частицы света (отдельные фотоны). По энергии выбиваемых электронов Эйнштейн определил, что энергия фотона всегда обратно пропорциональна длине волны света. Таким образом, свойства фотона переплетены с волновыми свойствами: длина волны однозначно связана с энергией фотона. Открытие Эйнштейном дуализма волновых и корпускулярных свойств света и первые квантовомеханические законы физики, которые он начал строить вокруг этого открытия, обеспечили ему в 1922 г. Нобелевскую премию 1921 г.

Хотя Эйнштейн сформулировал общую теорию относительности почти единолично, он был только одним среди многих тех, кто внес свой вклад в законы квантовой механики — законы «царства малого».

Когда Эйнштейн обнаружил дуализм волн/частиц света, он еще не понимал того, что электрон или протон тоже могут вести себя иногда как частицы, а иногда как волны. Об этом никто не догадывался до середины 1920-х, когда Луи де Бройль сформулировал такую гипотезу, а затем Эрвин Шрединдгер использовал ее как основу для полного набора законов квантовой механики, законов, в которых электрон является волной вероятности. Вероятности чего? Вероятности локализации частицы. Эти «новые» законы квантовой механики (которые оказались чрезвычайно успешными в объяснении поведения электронов, протонов, атомов и молекул) не будут нас особенно волновать в этой книге. Однако время от времени некоторые из их особенностей будут все же для нас важны. Такой важной особенностью для этой главы является электронное вырождение.

Из расчетов Фоулера следовало, что поскольку электроны в Сириусе В и других белых карликах сжаты в столь малых ячейках, давление вырождения в них гораздо больше температурного (вызванного теплом). Соответственно, когда Сириус В остывает, его слабое термическое давление исчезает, а огромное давление вырождения остается и продолжает противостоять гравитации.

Таким образом, решение парадокса белых карликов Эддингтона имеет две стороны. Во-первых, Сириус В не сдерживает влияние гравитации с помощью температурного давления, как думали ранее, до появления квантовой механики: основную роль играет давление вырождения. Во-вторых, когда Сириус В остывает, ему нет надобности расширяться до плотности камня, чтобы поддерживать себя; как раз наоборот, он будет вполне удовлетворительно поддерживаться давлением вырождения при существующей плотности 4 млн г/см³.

Читая все это и изучая математические выкладки в Мадрасской библиотеке, Чандрасекар был попросту очарован. Это было его первое соприкосновение с современной астрономией, и он обнаружил глубокие следствия двух, идущих рука об руку, революционных идей физики XX века: общая теория относительности Эйнштейна с новым взглядом на природу пространства и времени проявилась в красноволновом сдвиге света, испускаемого Сириусом В, а новая квантовая механика с корпускулярно-волновым дуализмом была ответственна за внутреннее давление Сириуса В. Такая астрономия представлялась благодатным полем, на котором молодой человек мог бы проявить себя.

Продолжая обучение в Мадрасе, Чандрасекар обнаружил дальнейшие приложения квантовой механики к астрономической Вселенной. Он даже написал небольшую статью о своих идеях, отправил ее в Англию Фоулеру, с которым ранее никогда не встречался, и Фоулер представил ее к публикации.

Наконец, в 1930 г. в возрасте 19 лет Чандрасекар получил индийский эквивалент степени бакалавра и в последнюю неделю июля ступил на борт парохода, отплывающего в далекую Англию. Он был принят для продолжения образования в Кембриджский университет — место, где работали его кумиры Фоулер и Эддингтон.

Предельная масса

Восемнадцать дней плавания по морю из Мадраса в Саутгемптон были для Чандрасекара первой за много месяцев возможностью спокойно подумать о физике, не отвлекаясь на рутину учебы и экзаменов. Морское уединение способствовало размышлениям, которые были весьма плодотворны. Настолько, что фактически помогли получить ему Нобелевскую премию, правда, лишь 54 года спустя и только после серьезной борьбы за признание мировым астрономическим сообществом.

На борту парохода Чандрасекар позволил своим мыслям вернуться к белым карликам, парадоксу Эддингтона и разрешению парадокса Фоулером. Решение Фоулера почти наверняка было правильным, и другого не было. Однако Фоулер до конца не разработал детали баланса между вырожденным давлением и гравитацией в звездах типа белого карлика, не рассчитал также и их внутреннюю структуру: каким образом от поверхности к центру меняются плотность, давление и гравитация звезды. И это был вызов — дразнящая проблема, помогающая к тому же бороться со скукой во время долгого путешествия.

Чтобы найти опору при исследовании структуры звезды, Чандрасекару необходимо было получить ответ на следующий вопрос.

Допустим, вещество, из которого состоит белый карлик, уже сжато до некоторой плотности (например, до 1 млн г/см³). Сожмем вещество (т. е. уменьшим его объем и увеличим плотность) еще на 1 %. Вещество будет противиться этому дополнительному сжатию, увеличивая свое внутреннее давление. На сколько процентов возрастет это давление? Физики используют термин «адиабатический коэффициент» для такого процентного изменения давления, обусловленного одним процентом дополнительного сжатия. В этой книге я буду пользоваться более наглядным названием — сопротивление сжатию, или просто сопротивление. (Его не следует путать с «электрическим сопротивлением», это совершенно разные понятия.)

Чандрасекар вывел сопротивление сжатию, изучая шаг за шагом последствия однопроцентного увеличения плотности вещества белого карлика: результирующее уменьшение размера электронной ячейки, уменьшение длины волны электрона, увеличение его энергии и скорости и, наконец, возрастание давления. Результат оказался прост: однопроцентное увеличение плотности приводит к увеличению давления на 5/3 % (1,667 %). Сопротивление вещества белого карлика, следовательно, было равно 5/3.

За много десятилетий до плавания Чандрасекара астрофизики рассчитали составляющие баланса между гравитацией и давлением внутри любой звезды, сопротивление сжатию которой не зависит от глубины. То есть звезды, давление и плотность которой возрастают так, что если продвигаться все глубже внутрь, увеличение плотности на 1 % будет по-прежнему сопровождаться тем же фиксированным приращением давления. Детали получающейся структуры звезды содержались в книге Эддингтона «Внутреннее строение звезд» — этой книгой Чандрасекар весьма дорожил и потому взял ее с собой на борт корабля. Поэтому когда Чандрасекар обнаружил, что вещество белого карлика имеет не зависящее от давления сопротивление сжатию, он был очень доволен. Теперь, обратившись к книге Эддингтона, он мог сразу узнать внутреннюю структуру звезды: как плотность и давление меняются от поверхности к центру.

Среди прочего открытого Чандрасекаром в результате объединения формул, приведенных в книге Эддингтона, с его собственными вычислениями, были выведены значения плотности и скорости вырожденного движения электронов в центре Сириуса В. Ответ состоял в следующем: плотность в центре звезды составляла 360 тыс. г/см³ (или 6 т/дюйм³); средняя скорость электронов = 57 % скорости света.

Как неудобно много! Чандрасекар, как и Фоулер до него, рассчитывал сопротивление вещества белых карликов, основываясь на законах квантовой механики, но игнорируя релятивистские эффекты. Однако если какой-либо объект движется с околосветовой скоростью (даже если это частица, управляемая квантовомеханическими законами), то становятся важными эффекты теории относительности. При скорости, составляющей 57 % скорости света, эти эффекты не должны быть особенно велики, но у более массивного белого карлика большая гравитация требует большего давления в центре звезды для поддержания баланса сил, и средняя скорость электронов, соответственно, будет больше. В таком белом карлике уже нельзя игнорировать релятивистские эффекты. Поэтому Чандрасекар вернулся к исходной точке своего анализа — вычислению сопротивления вещества белого карлика, чтобы на этот раз постараться учесть релятивистские эффекты.