До предела чисел. Эйлер. Математический анализ
Шрифт:
Важным аспектом логарифма является то, что с его помощью упрощаются арифметические вычисления. Например:
1 · 2 = aL1 · aL2 = aL1+L2
=> loga(N1 · N2) = L1 + L2 = logaN1 + logaN2.
Таким образом, логарифм произведения
Если мы сделаем таблицу с двумя величинами, числами и десятичными логарифмами, то сможем сложить логарифмы и при помощи таблиц легко узнать произведение. И хотя сегодня можно без труда произвести умножение электронными калькуляторами, во времена, когда они еще не существовали, операция, помогающая заменить сложные расчеты в случаях произведений больших величин на простое сложение, имела огромное практическое значение.
2. БАЗЕЛЬСКАЯ ЗАДАЧА
Проследим за хитроумными рассуждениями Эйлера, но не будем забывать, что в некоторых местах они должны быть доработаны. Позже это сделал сам ученый. Возьмем знаменитый ряд Тейлора:
sinx = x - x3/3! + x5/5!
– x7/7! + ...
Мы знаем, что он равен нулю при х равном нулю, то есть если sinx = 0, когда х = 0, ± , ±2, ±3...
Следовательно, предположив, что ряд ведет себя как многочлен, поскольку он и является длиннейшим многочленом, применение фундаментальной теоремы алгебры преобразит его в произведение одночленов вида х - , где — решение. Продолжим:
x - x3/3! + x5/5!
– x7/7! + ... = K(x)(x - )(x + )(x - 2)(x + 2)...
К — неизвестная константа. Производя вычисления в правой части равенства:
x - x3/3! + x5/5!
– x7/7! + ... = K(x)(x2– 2)(x2– 42)(x - 92)...
следует отметить, что каждый член вида х2– 22 справа равен нулю. А это происходит, только если
1 - х2/(22) = 0.
Запишем члены правого выражения в следующей форме:
x - x3/3! + x5/5!
– x7/7! + ... = K(x)(1 - x2/2)(1 - x2/42)(1 - x2/92)...
Теперь разделим на x:
sinx/x = 1 - x2/3! + x4/5!
– x6/7! + ... = K(1 - x2/2)(1 - x2/42)(1 - x2/92)...
И, поскольку limx->0(sinx/x) = 1, получим, что K = 1. Итак:
1 - x2/3! + x4/5!
– x6/7! + ... = (1 - x2/2)(1 - x2/42)(1 - x2/92)...
Этот ряд равен бесконечному произведению. Для Эйлера это не проблема. Подсчитаем порядок произведения и выделим члены произведения с x2 в правой части:
– x2/3! = -x2/2– x2/42– x2/92– ...
Разделив
2/6 = 1+ 1/22 + 1/23 + 1/42 + ...,
что и требовалось доказать.
3. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
Эйлер был первым математиком, доказавшим тождественность ($) как ряда степеней и ($) как бесконечного произведения. Назовем рк простое число, занимающее место k в ряде. Получим
Ниже можно увидеть, каким образом получается это равенство:
Для тех, кто знаком со сложным анализом, дзета-функция может быть расширена до мероморфной во всей комплексной области с простым полюсом s = 1, где остаток равен 1. Это дзета-функция, о которой говорил Риман и которая стала предметом его знаменитой гипотезы.
4. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА — ЛАГРАНЖА
Чтобы упростить, насколько это возможно, наше объяснение, оттолкнемся от предположения, что задействованные в нем функции удовлетворяют всем необходимым условиям на производную и непрерывность.
Обозначим через S функционал (функцию функций), к которому мы применим вариационное исчисление, а через x1, х2 — экстремумы неизвестной функции:
S(f) = x1x2L(x1,f(x),f'(x))dx.
Предположим, что решением является f0 и что функционал имеет здесь минимум; назовем (x) функцию (которую мы будем "варьировать"), равную нулю в экстремумах x1, х2. Поскольку в f0 функционал имеет минимум,
S(f0)<=S(f0+)
в окрестности f0. Вариационный размах
f = f0 +
должен удовлетворять:
dS(f0 + )/d|=0 = x1x2dL/d|=0 = 0
Теперь вспомним, что
df/d = ,df'/d = '.
Применим правило дифференцирования и проведем необходимые замены.
Получим
dL/d = L/f df/d + L/f' df'/d = (L/f) + L/f''
A теперь проинтегрируем по частям и учтем предыдущую формулу:
Поскольку выражение слева — ноль, то нулем будет и выражение справа. Следовательно,
dL/df = d/dx L/df' = 0
Таким образом, мы получили уравнения Эйлера — Лагранжа, которые в приложениях обычно приводят к дифференциальным уравнениям второго порядка.
5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Эйлер вывел свою фундаментальную формулу, из которой впоследствии получил еще несколько из простых рядов Тейлора. Напомним, что степени ведут себя так:
i0 = 1,i1 = i,i2 = -1,i3 = -i,