Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

До предела чисел. Эйлер. Математический анализ
Шрифт:

База, на которой основано одно из самых важных открытий, описанных в Introductio in analysin infinitorum,— это формула Муавра. Современный математик записал бы ее так:

(cosx + isinx)n = cosnx + isinnx.

Сам де Муавр записал ее в 1730 году в более сложном виде, но в соответствии с традицией того времени:

АБРАХАМ ДЕ МУАВР

Абрахам де Муавр родился в 1667 году во французском регионе Шампань, однако карьеру сделал в Великобритании, куда бежал от

религиозных преследований протестантов, начавшихся после того, как в 1685 году Людовик XIV отменил Нантский эдикт. В Лондоне он оказался в стесненных обстоятельствах и зарабатывал на жизнь частными уроками и игрой в шахматы. Де Муавр близко подружился с Эдмундом Галлеем (1656-1742) и Ньютоном, с которым он каждый день пил кофе и который, как говорят, каждый раз, когда ему задавали вопрос о вычислениях, отвечал: "Спросите де Муавра, он разбирается в этом лучше". Кроме этого, де Муавр дружил с Лейбницем, Эйлером и семьей Бернулли, однако все эти связи не помогли ему найти постоянную работу. Он был превосходным математиком: именно ему принадлежит введение в теорию вероятностей независимых событий — результат, приближающий к понятию распределения статистических данных в виде колокола Гаусса. Также де Муавр изучал вопрос ренты в работе Annuities in life ("Пожизненная рента"), опубликованной в 1724 году и основанной на одном из сочинений Галлея. В области анализа де Муавру принадлежит заслуга асимптотического представления факториала. Впоследствии эта формула станет известна как формула Стирлинга:

n! = (2n)(n/e)n.

Но главным его достижением стала формула для комплексных чисел, которая в современной записи выглядит так:

(cosx + /sinx)n = cosnx + isinnx.

Де Муавр остался холостяком и жил в бедности, но с гордостью изгнанника вспоминал, что в 1754 году Парижская академия наук избрала его своим иностранным членом. Умер ученый в Лондоне, и говорят, что он предсказал день своей смерти. Якобы де Муавр заметил, что каждый день спит на 15 минут больше, и, произведя подсчеты, вычислил день, когда должен был проспать 24 часа: 27 ноября 1754 года. Так и оказалось.

Эйлер использовал формулу Муавра, не приведя никакого ее доказательства. Он совместил ее с другой формулой, названной его именем и созданной еще в Базеле (как мы видели в главе 2):

еix = cosx + isinx,

и вывел, пользуясь простым правилом возведения в степень, выражение, которое сегодня мы записали бы так:

ех+iy = ех (cosу + isiny).

Эйлер пришел к этим результатам, а также к другим, имеющим огромную важность, отталкиваясь от простого ряда Тейлора:

ex = n=0xn/n! = 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! + ...

В приложении 5 мы более подробно объясним, как Эйлер вывел свою формулу из этого выражения.

Если мы подставим вместо х число , то, по формуле Эйлера, получим:

eix = cos + isin = -1 + i0 = -1,

а перенеся -1:

eix + 1 = 0.

Многие математики считают это уравнение, известное как тождество Эйлера, самым красивым в этой науке.

В Introductio in analysin infinitorum можно также обнаружить понятие логарифма в форме, позволяющей решить задачу отрицательных логарифмов, которая не давала Эйлеру покоя со времен его базельской юности. Он совершенно правильно определял их как результат операции, обратной возведению в степень:

alogox = x.

а это значит, что логарифм в области комплексных чисел имеет бесконечное число значений, которые отличаются только четным произведением , то есть 2k. В частности:

ln(-1) = i + 2k(k € Z),

что приводит нас к таким выражениям, как

ii = eilni = e(-/2) ~ 0,2078795764.

В этой работе также впервые появляются число е, формула Муавра, ряд степеней sinx и cosx, понятие функции, несколько степенных рядов (а также представлено другое решение Базельской задачи) и так далее, объясняются и систематизируются начала аналитической геометрии, неразрывно связанной с анализом. Среди затронутых тем можно найти косоугольные и полярные координаты, преобразование координат, асимптоты, кривизну, пересечение кривых, касательные и многие другие. Подход Эйлера к этим понятиям не просто современен, он действительно соединил точки зрения Ньютона и Лейбница и объяснил раз и навсегда, что дифференцирование и интегрирование являются обратными друг другу действиями, двумя сторонами одной медали. В Institutiones calculi differentialis и Institutiones calculi integralis содержится первое исследование рядов, непрерывных дробей, дифференциальных уравнений, включая частные производные, максимумы, минимумы и так далее. Эйлер начал интеллектуальную схватку длиною в жизнь с числовыми рядами: никто не знал, сходятся ли эти бесконечные суммы, и если сходятся, то к чему. В некоторых случаях расхождение было очевидным, как, например, в так называемом гармоническом ряде:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ... ,

который итальянский математик Пьетро Менголи сгруппировал так:

1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) +

+ (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) + ...

>= 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... ,

показав, что его сумма бесконечна. Другие же вызывали недоумение. Рассмотрим пример:

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

В таком виде кажется, что его сумма равна 0:

(1-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 0,

а если сгруппировать его так, то сумма равна 1:

1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1.

На самом деле оба результата неправильны. Эйлер, как и другие математики того времени, предпочитал исходить из известного ряда

1/(1-x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + ...

Подставив вместо х число -1, он пришел к

1/2 = 1/(1- (-1)) = 1 + (-1) + (-1)2 + (-1)3 + (-1)4 + (-1)5 + ...

= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1.

то есть ни 1, ни 0: Эйлер утверждал, что сумма равна 1/2.

К арсеналу уже известных к тому времени рядов

Эйлер постепенно добавил много собственных результатов: решение Базельской задачи; формулу суммирования Эйлера — Маклорена, которая улучшала сходимость, если таковая наблюдалась; преобразование рядов через конечные и последовательные разности; а также важные открытия в области расходящихся рядов. Фактически, в 1755 году, то есть в эпоху, когда еще не существовало понятие предела, ученый уже различал сходящиеся и расходящиеся ряды. Среди рядов, суммированных Эйлером, мы находим

/(33) = 1 - 1/2 + 1/4 - 1/5 + 1/7 - 1/8 + ...

/(22) = 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + ...

/3 = 1 + 1/5 - 1/7 - 1/11 + 1/13 - 1/17 + ...

2/(82) = 1 - 1/32– 1/52 + 1/72 + 1/92 + ...

2/(63) = 1 - 1/52– 1/72 + 1/112 + 1/132 + ...

1 -1! + 2!
– 3! + ... = 0,596347362123...

Он также открыл два новых ряда. Один — данная последовательность степеней:

Поделиться:
Популярные книги

Эффект Фостера

Аллен Селина
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Эффект Фостера

Аромат невинности

Вудворт Франциска
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
эро литература
9.23
рейтинг книги
Аромат невинности

Осознание. Пятый пояс

Игнатов Михаил Павлович
14. Путь
Фантастика:
героическая фантастика
5.00
рейтинг книги
Осознание. Пятый пояс

Вдова на выданье

Шах Ольга
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Вдова на выданье

Кодекс Крови. Книга Х

Борзых М.
10. РОС: Кодекс Крови
Фантастика:
фэнтези
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Крови. Книга Х

Младший научный сотрудник

Тамбовский Сергей
1. МНС
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
6.40
рейтинг книги
Младший научный сотрудник

Здравствуй, 1984-й

Иванов Дмитрий
1. Девяностые
Фантастика:
альтернативная история
6.42
рейтинг книги
Здравствуй, 1984-й

Вечная Война. Книга VIII

Винокуров Юрий
8. Вечная Война
Фантастика:
боевая фантастика
юмористическая фантастика
космическая фантастика
7.09
рейтинг книги
Вечная Война. Книга VIII

Ваше Сиятельство 3

Моури Эрли
3. Ваше Сиятельство
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Ваше Сиятельство 3

Последний попаданец 12: финал часть 2

Зубов Константин
12. Последний попаданец
Фантастика:
фэнтези
юмористическое фэнтези
рпг
5.00
рейтинг книги
Последний попаданец 12: финал часть 2

Паладин из прошлого тысячелетия

Еслер Андрей
1. Соприкосновение миров
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
6.25
рейтинг книги
Паладин из прошлого тысячелетия

Темный Лекарь

Токсик Саша
1. Темный Лекарь
Фантастика:
фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Темный Лекарь

Гром над Академией. Часть 1

Машуков Тимур
2. Гром над миром
Фантастика:
фэнтези
боевая фантастика
5.25
рейтинг книги
Гром над Академией. Часть 1

Последняя Арена 5

Греков Сергей
5. Последняя Арена
Фантастика:
рпг
постапокалипсис
5.00
рейтинг книги
Последняя Арена 5