До предела чисел. Эйлер. Математический анализ
Шрифт:
База, на которой основано одно из самых важных открытий, описанных в Introductio in analysin infinitorum,— это формула Муавра. Современный математик записал бы ее так:
(cosx + isinx)n = cosnx + isinnx.
Сам де Муавр записал ее в 1730 году в более сложном виде, но в соответствии с традицией того времени:
АБРАХАМ ДЕ МУАВР
Абрахам де Муавр родился в 1667 году во французском регионе Шампань, однако карьеру сделал в Великобритании, куда бежал от
n! = (2n)(n/e)n.
Но главным его достижением стала формула для комплексных чисел, которая в современной записи выглядит так:
(cosx + /sinx)n = cosnx + isinnx.
Де Муавр остался холостяком и жил в бедности, но с гордостью изгнанника вспоминал, что в 1754 году Парижская академия наук избрала его своим иностранным членом. Умер ученый в Лондоне, и говорят, что он предсказал день своей смерти. Якобы де Муавр заметил, что каждый день спит на 15 минут больше, и, произведя подсчеты, вычислил день, когда должен был проспать 24 часа: 27 ноября 1754 года. Так и оказалось.
Эйлер использовал формулу Муавра, не приведя никакого ее доказательства. Он совместил ее с другой формулой, названной его именем и созданной еще в Базеле (как мы видели в главе 2):
еix = cosx + isinx,
и вывел, пользуясь простым правилом возведения в степень, выражение, которое сегодня мы записали бы так:
ех+iy = ех (cosу + isiny).
Эйлер пришел к этим результатам, а также к другим, имеющим огромную важность, отталкиваясь от простого ряда Тейлора:
ex = n=0xn/n! = 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! + ...
В приложении 5 мы более подробно объясним, как Эйлер вывел свою формулу из этого выражения.
Если мы подставим вместо х число , то, по формуле Эйлера, получим:
eix = cos + isin = -1 + i0 = -1,
а перенеся -1:
eix + 1 = 0.
Многие математики считают это уравнение, известное как тождество Эйлера, самым красивым в этой науке.
В Introductio in analysin infinitorum можно также обнаружить понятие логарифма в форме, позволяющей решить задачу отрицательных логарифмов, которая не давала Эйлеру покоя со времен его базельской юности. Он совершенно правильно определял их как результат операции, обратной возведению в степень:
alogox = x.
а это значит, что логарифм в области комплексных чисел имеет бесконечное число значений, которые отличаются только четным произведением , то есть 2k. В частности:
ln(-1) = i + 2k(k € Z),
что приводит нас к таким выражениям, как
ii = eilni = e(-/2) ~ 0,2078795764.
В этой работе также впервые появляются число е, формула Муавра, ряд степеней sinx и cosx, понятие функции, несколько степенных рядов (а также представлено другое решение Базельской задачи) и так далее, объясняются и систематизируются начала аналитической геометрии, неразрывно связанной с анализом. Среди затронутых тем можно найти косоугольные и полярные координаты, преобразование координат, асимптоты, кривизну, пересечение кривых, касательные и многие другие. Подход Эйлера к этим понятиям не просто современен, он действительно соединил точки зрения Ньютона и Лейбница и объяснил раз и навсегда, что дифференцирование и интегрирование являются обратными друг другу действиями, двумя сторонами одной медали. В Institutiones calculi differentialis и Institutiones calculi integralis содержится первое исследование рядов, непрерывных дробей, дифференциальных уравнений, включая частные производные, максимумы, минимумы и так далее. Эйлер начал интеллектуальную схватку длиною в жизнь с числовыми рядами: никто не знал, сходятся ли эти бесконечные суммы, и если сходятся, то к чему. В некоторых случаях расхождение было очевидным, как, например, в так называемом гармоническом ряде:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ... ,
который итальянский математик Пьетро Менголи сгруппировал так:
1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) +
+ (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) + ...
>= 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... ,
показав, что его сумма бесконечна. Другие же вызывали недоумение. Рассмотрим пример:
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
В таком виде кажется, что его сумма равна 0:
(1-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 0,
а если сгруппировать его так, то сумма равна 1:
1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1.
На самом деле оба результата неправильны. Эйлер, как и другие математики того времени, предпочитал исходить из известного ряда
1/(1-x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + ...
Подставив вместо х число -1, он пришел к
1/2 = 1/(1- (-1)) = 1 + (-1) + (-1)2 + (-1)3 + (-1)4 + (-1)5 + ...
= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1.
то есть ни 1, ни 0: Эйлер утверждал, что сумма равна 1/2.
К арсеналу уже известных к тому времени рядов
Эйлер постепенно добавил много собственных результатов: решение Базельской задачи; формулу суммирования Эйлера — Маклорена, которая улучшала сходимость, если таковая наблюдалась; преобразование рядов через конечные и последовательные разности; а также важные открытия в области расходящихся рядов. Фактически, в 1755 году, то есть в эпоху, когда еще не существовало понятие предела, ученый уже различал сходящиеся и расходящиеся ряды. Среди рядов, суммированных Эйлером, мы находим
/(33) = 1 - 1/2 + 1/4 - 1/5 + 1/7 - 1/8 + ...
/(22) = 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + ...
/3 = 1 + 1/5 - 1/7 - 1/11 + 1/13 - 1/17 + ...
2/(82) = 1 - 1/32– 1/52 + 1/72 + 1/92 + ...
2/(63) = 1 - 1/52– 1/72 + 1/112 + 1/132 + ...
1 -1! + 2!
– 3! + ... = 0,596347362123...
Он также открыл два новых ряда. Один — данная последовательность степеней: