До предела чисел. Эйлер. Математический анализ

Коллектив авторов

В этой паре, не так давно найденной нумерологом Йоргом Рихстейном, одно слагаемое состоит из четырех цифр, а второе — из 15, при этом оба они являются простыми числами. До сих пор никому не удалось доказать ни одну из двух гипотез. Слабую можно считать почти доказанной, поскольку известно, что она работает для всех чисел больше 10 ³⁴⁶. Чтобы доказать ее полностью, надо разобраться с нерешенными случаями: начать с 7 и дойти до 10 ¹³⁴⁶. Это очень сложно: любой существующей вычислительной машине потребуется на это большее количество секунд, чем число атомов во Вселенной.

С сильной проблемой Гольдбаха ситуация яснее: ни одного ее доказательства не существует. Найти его не удалось даже Эйлеру. С помощью супервычислителей Cray проблему проверили для огромных чисел, доходящих до 10¹⁸, но

общее доказательство так и не найдено. Тем не менее математикам удалось добиться значительных результатов. Например, китайский ученый Чен Джингрун (1933-1996) в 1966 году доказал, что каждое достаточно большое число можно представить в виде суммы двух других, из которых одно — простое, а второе — произведение максимум двух простых.

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ: МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ

Вариационное исчисление может считаться обобщенным исчислением и поэтому однозначно является частью анализа. Его цель заключается в нахождении пути, кривой, поверхности и так далее, для которых определенная функция имеет стационарное значение — как правило, максимальное или минимальное. Исчисление имеет основополагающее значение для физики, в частности в таких областях практического применения, как теория упругости и баллистика, которые вызывали большой интерес уже во времена Эйлера. Неудивительно, что ученый пришел к вариационному исчислению в 1744 году, через три года после переезда в Берлин, когда он занялся физикой, а именно принципом наименьшего действия в механике.

РИС. 5

РИС . б

РИС. 7

Путь, пройденный лучом света на поверхности от А до В, равен отрезку А’ В. Следовательно, он проходит наименьшее расстояние.

Как и все основные проблемы в математике, вопрос о максимумах и минимумах имел длинную историю. Достаточно вспомнить классическую задачу — или, скорее, легенду — о Ди- доне, королеве Тира. Она бежала с последними оставшимися ей верными людьми и достигла берегов, на которых ей суждено было создать свое царство, Карфаген. Она попросила местного короля Иарбанта дать ей кусок земли, где могли бы жить ее подданные. Тот согласился с одним условием: владения Дидоны должны быть равны площади, которую она сможет покрыть воловьей шкурой. Чтобы упростить объяснение, представим, что побережье — прямая линия, без заливов, бухт и мысов. Царица разрезала шкуру на тончайшие ремешки так, что получилась длинная веревка. Она соединила ее концы (рисунок 5), а затем применила базовый принцип изопериметров, то есть площадей, периметры которых имеют одинаковую длину. Одна часть этого периметра проходила вдоль моря, а оставшаяся должна была охватить как можно большую площадь. Решение состояло в том, что веревка из воловьей кожи должна располагаться в виде полукруга, диаметр которого — побережье (рисунок 6). Задача Дидоны относится к разряду классических изопериметриче- ских задач, которые часто встречаются в физике. Она относится к более широкой категории задач, похожих друг на друга, поскольку в них всегда надо найти экстремум функционала — максимум или минимум — при заданных неизменных условиях. Существует наглядный и к тому же очень древний пример, автором которого является Герон Александрийский (ок. 10- 70). Он задался вопросом об отражении света, заметив, что луч, идущий от А к В, отражаясь от зеркала, следует по самой короткой траектории (рисунок 7).

РИС. 8

РИС. 10

Впоследствии Ферма сформулировал закон о преломлении света (так называемый закон Снеллиуса), по которому n₁, sin₁ = n₂ sin₂ Однако в этом случае пройденное расстояние не было минимальным. Минимальным было время, за которое луч проходит от A до B, а расстояние на самом деле было, как мы сказали бы сегодня, функцией времени: e = v · t, где v — скорость луча света в преломляющей его среде. Таким образом, минимизируется функция f(t) · vt (рисунки 8-9).

ПЬЕР ДЕ МОПЕРТЮИ

Хотя семья Пьера де Мопертюи (1698- 1759) сделала состояние, промышляя пиратством — его отец был корсаром, получившим дворянский титул, — и у Пьера была возможность сделать военную карьеру, он выбрал науку и стал выдающимся математиком, физиком, естествоиспытателем и астрономом. Мопертюи был последователем Ньютона. Приняв участие в экспедиции в далекую Лапландию, чтобы собрать данные о длине земного меридиана, он пришел к выводу, что Земля сплюснута у полюсов, и подтвердил таким образом теорию своего учителя. Мопертюи также первым сформулировал принцип наименьшего действия. Правда, некоторые историки ставили его первенство под вопрос, поскольку считали, что Эйлер узнал об этом принципе раньше и уже использовал его. В отношениях между Мопертюи, одной из главных фигур Прусской академии, и Эйлером были периоды большой напряженности. Согласно некоторым источникам, Мопертюи так писал о швейцарском ученом: "Эйлер... в общем чрезвычайно странный персонаж... это неутомимый и надоедливый человек, который любит вмешиваться во все дела, хотя структура Академии и распоряжения нашего короля запрещают подобные вмешательства".

Вышеуказанная вариация есть не что иное, как инструмент вычисления. Если у(х) — это кривая, которая, проходя через (a, y(a)) и (b, y(b)), отвечает необходимым требованиям, то вариация кривой будет небольшим изменением, что обозначается знаком 8 перед ней (рисунок 10). В 1744-1746 годах Мопертюи сформулировал свой принцип наименьшего действия, который можно сформулировать как "природа экономит свои усилия", поскольку "осуществляет их", выполняя наименьшее из возможных действий. Действие — величина, которую можно определить. Она может быть представлена (хоть это и не единственный способ) как сумма задействованных сил, умноженная на пройденный путь, и именно он должен быть минимальным.

Эйлер изложил свою версию принципа в 1744 году в статье "Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле", которую историки обычно называют по первому слову в оригинальном латинском заголовке, Methodus. Именно она положила начало современному вариационному исчислению.

Поскольку наш мир устроен наисовершеннейшим образом и является творением всеведущего Творца, во всем мире не происходит ничего такого, в чем не было бы воплощено какое-либо правило максимума или минимума.

Эйлер

В 1755 году математик итальянского происхождения Жозеф Луи Лагранж, которому было всего 19 лет, написал Эйлеру длинное письмо, в котором содержалось решение одной задачи с помощью усовершенствованной системы вариационного исчисления. В 1772 году Лагранж с благословения Эйлера, признавшего важность его работы, опубликовал свой метод.

Выражаясь современным языком, вариационное исчисление состоит в приведении в действие принципа наименьшего действия с аналитической точки зрения. Вначале запишем так называемый лагранжиан системы, обозначив его L, причем L = С - Р, то есть разнице между кинетической энергией С и потенциальной энергией Р. Лагранжиан — это функционал, функция от функций. Если ограничиться самым банальным случаем, в котором есть только путь, то есть функция x(t) времени, то лагранжиан будет иметь вид L(x,x',t), где ньютоновским знаком х' обозначается производная от х. Интеграл действия принимает вид:

S = _t0^t1L(x,x',t)dt

и именно его необходимо минимизировать (а в некоторых случаях максимизировать). И Эйлер, и Лагранж, хотя и разными путями, пришли к дифференциальным уравнениям (обычно их бывает несколько) вида

d/dt L/x' = K/x.

Сегодня их называют уравнениями Эйлера — Лагранжа, и задача сводится к их решению. Уравнения Эйлера — Лагранжа встречаются в учебниках по анализу и в относительно простых условиях трансформируют интеграл действия в частные производные. Они являются центральным элементом вариационного исчисления. В приложении 4 мы приводим их формальный вывод.